Question

5．2016年10月17日7时49分，神舟十一号飞船在酒泉卫星发射中心发射升空后准确进入预定轨道，并于北京时间19日凌晨3点半左右与天宫二号成功实施自动交会对接．如图所示，已知“神舟十一号”从捕获“天宫二号”到实现对接用时为t，这段时间内组合体绕地球转过的角度为θ（此过程轨道不变，速度大小不变）．地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转，求组合体运动的周期T及所在圆轨道离地高度H．

Answer 1

分析 在地球表面物体受到的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，由此可求出地球质量，t时间内组合体绕地球转过的角度为θ，结合角速度得定义式求出ω，然后求出周期，万有引力提供向心力，可以解得组合体离地面的高度；

解答 解：设地球质量为M，组合体角速度为ω，依题意，地球表面处万有引力等于重力，有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$…①
$ω=\frac{2π}{T}$…②
θ=ωt…③
根据万有引力提供向心力，有：$G\frac{Mm}{（R+H）_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}（R+H）$…④
联立解得：
$T=\frac{2πt}{θ}$…⑤
$H=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}}-R$…⑥
答：组合体运动的周期T为$\frac{2πt}{θ}$及所在圆轨道离地高度H为$\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}{{θ}_{\;}^{2}}}-R$

点评 本题关键是要掌握万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}_{\;}^{2}}=m{ω}_{\;}^{2}r$和在地球表面物体的重力等于万有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$这两个关系，并且要能够根据题意选择恰当的向心力公式．