Question

【题目】同步回旋加速器结构如图所示，轨道磁铁产生的环形磁场在同一时刻处处大小相等，带电粒子在环形磁场的控制下沿着固定半径的轨道做匀速圆周运动，穿越沿途设置的高频加速腔从中获取能量.如题图所示．同步加速器中磁感应强度随被加速粒子速度的增加而增加，高频加速电场的频率与粒子回旋频率保持同步．已知圆形轨道半径为R，被加速粒子的质量为m、电荷量为+q，加速腔的长度为L，且L<<R,当粒子进入加速腔时，加速电压的大小始终为U，粒子离开加速腔时，加速腔的电压为零．已知加速腔外无电场、腔内无磁场；不考虑粒子的重力、相对论效应对质量的影响以及粒子间的相互作用．若在t=0时刻将带电粒子从板内a孔处静止释放，求：

（1）带电粒子第k次从b孔射出时的速度的大小vk；

（2）带电粒子第k次从b孔射出到第(k+1)次到达b孔所经历的时间；

（3）带电粒子第k次从b孔射出时圆形轨道处的磁感应强度Bk的大小；

（4）若在a处先后连续释放多个上述粒子，这些粒子经过第1次加速后形成一束长度为l1的粒子束（l1<L），则这一束粒子作为整体可以获得的最大速度vmax．

Answer 1

【答案】(1) (2)πR (3) (4)

【解析】

(1)粒子在电场中被加速，由动能定理得：kqU＝mvk2﹣0

解得：

(2) 粒子做圆周运动的周期：

由题意可知，加速空腔的长度：L＜＜R，

粒子在空腔的运动时间可以忽略不计，下一次经过b孔的时间间隔等于粒子在磁场中做圆周运动的周期：

(3)粒子第k次从b孔射出，粒子被电场加速k'次，由动能定理得：kqU＝mvk2﹣0

解得：

粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：qvkBk＝，解得：

(4)粒子第一次加速后的速度：

从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间：，

由可知，粒子被第二次加速后的速度：

粒子被二次加速后这一束粒子的长度：l2＝v2t1＝l1

粒子被第三次加速后的速度：

从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间：

粒子被三次加速后这一束粒子的长度：l3＝v3t2＝l1

粒子被第四次加速后的速度：

从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间：

粒子被三次加速后这一束粒子的长度：l4＝v4t3＝l1

…

粒子被第k次加速后的速度：

从第一个粒子进入加速空腔到最后一个粒子进入加速空腔的时间：

粒子被k次加速后这一束粒子的长度：lk＝vktk﹣1＝l1

当粒子束的长度：lk＝l1＝L，即：k＝时粒子束的速度最大，

由动能定理得：qU＝mvmax2﹣0，解得：