Question

18．同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图所示的实验装置．图中水平放置的底板上竖直地固定有M板和N板．M板上部有一半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，Q点处的切线水平，距底板高为H．N板上固定有三个圆环．将质量为m的小球从P处静止释放，小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为L处．不考虑空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）距Q水平距离为$\frac{3L}{4}$的圆环中心到底板的高度；
（2）小球运动到Q点时速度的大小；
（3）小球运动到Q点时对轨道压力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1、2）平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据水平位移和竖直位移得出初速度，从而得出通过$\frac{3}{4}L$所用的时间，根据位移时间公式求出下降的位移，从而得出距Q水平距离为$\frac{3L}{4}$的圆环中心到底板的高度；
（3）根据牛顿第二定律得出支持力的大小，从而得出压力的大小和方向．

解答 解：（1）由平抛运动的规律，L=vt     ①
H=$\frac{1}{2}$gt² ②
又$\frac{3L}{4}$=vt₁ ③
H₁=$\frac{1}{2}$g${{t}_{1}}^{2}$      ④
由①②③④联立解得H₁=$\frac{9H}{16}$．
所以距Q水平距离为$\frac{3L}{4}$的圆环中心离底板的高度△H=H-H₁=$\frac{7}{16}$H．
（2）由平抛运动的规律解得：v=$\frac{L}{t}$=L$\sqrt{\frac{g}{2H}}$．
（3）在Q点由牛顿第二定律，有F_N-mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：F_N=mg（$1+\frac{{L}^{2}}{2HR}$）．
由牛顿第三定律，小球在Q点对轨道的压力F′=F_N=mg（$1+\frac{{L}^{2}}{2HR}$），方向竖直向下．
答：（1）距Q水平距离为$\frac{3L}{4}$的圆环中心到底板的高度为$\frac{7}{16}$H；
（2）小球运动到Q点时速度的大小为L$\sqrt{\frac{g}{2H}}$；
（3）小球运动到Q点时对轨道压力的大小为mg（$1+\frac{{L}^{2}}{2HR}$），方向竖直向下．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的综合运用，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律以及圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．