Question

10．在生产线框的流水线上，为了检测出个别不合格的未闭合线框，让线框随传送带通过一固定匀强磁场区域（磁场方向垂直于传送带平面向下），观察线框进入磁场后是否相对传送带滑动就能够检测出未闭合的不合格线框．其物理情景简化如下：如图所示，通过绝缘传送带输送完全相同的正方形单匝纯电阻铜线框，传送带与水平方向夹角为α，以恒定速度v₀斜向上运动．已知磁场边界MN、PQ与传送带运动方向垂直，MN与PQ间的距离为d，磁场的磁感应强度为B．线框质量为m，电阻为R，边长为L（d＞2L），线框与传送带间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g．闭合线框在进入磁场前相对传送带静止，线框刚进入磁场的瞬间，和传送带发生相对滑动，线框运动过程中上边始终平行于MN，当闭合线框的上边经过边界PQ时又恰好与传送带的速度相同．设传送带足够长，且线框在传送带上始终保持上边平行于磁场边界．求
（1）闭合线框的上边刚进入磁场时所受安培力F_安的大小；
（2）从闭合线框上边刚进入磁场至刚要出磁场所用的时间t；
（3）从闭合线框上边刚进入磁场到穿出磁场后又相对传送带静止的过程中，电动机多消耗的电能E．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律计算感应电动势的大小，根据安培力的公式计算安培力的大小；
（2）框刚进入磁场至线框刚要出磁场的过程重力和安培力做功，根据动量定理计算时间的大小；
（3）线框刚进入磁场至线框刚要出磁场的过程，根据动能定理计算电动机多消耗的电能．

解答 解：（1）根据安培力公式得：F_安=BIL…①
根据闭合电路欧姆定律得：$I=\frac{E}{R}$…②
根据法拉第电磁感应定律得：E=BLv₀…③
由①②③式联立解得：F_安=$\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{R}$…④
（2）线框刚进入磁场至线框刚要出磁场的过程，
根据动量定理：$mgsinα•t+{\bar F_安}{t^'}-μmgcosα•t=0$…⑤
根据安培力公式得：${\bar F_安}=B\bar IL$…⑥
根据闭合电路欧姆定律得：$\overline{I}=\frac{\bar E}{R}$…⑦
根据法拉第电磁感应定律得：$\overline{E}=BL\bar v$…⑧
根据运动学公式得：$L=\bar v{t^'}$…⑨
由⑤⑥⑦⑧⑨得：$t=\frac{{{B^2}{L^3}}}{mgR（μcosα-sinα）}$=10s…⑩
（3）线框刚进入磁场至线框刚要出磁场的过程，
根据动能定理得：（μmgcosα-mgsinα）d+W_安1=0
根据功能关系得：Q_电1=-W_安1
根据功能关系得：Q_f1=μmgcosα（v₀t-d）
从线框上边刚进入磁场到穿出磁场后又相对传送带静止的过程中：
根据能量守恒得：E=2mgsinα•d+2Q_电1+2Q_f1
得：$E=\frac{{2μ{v_0}{B^2}{L^3}cosα}}{R（μcosα-sinα）}$
答：（1）闭合线框的上边刚进入磁场时所受安培力F_安的大小为$\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{R}$；
（2）从闭合线框上边刚进入磁场至刚要出磁场所用的时间t为10s；
（3）从闭合线框上边刚进入磁场到穿出磁场后又相对传送带静止的过程中，电动机多消耗的电能E为$\frac{2μ{v}_{0}{B}^{2}{L}^{3}cosα}{R（μcosα-sinα）}$．

点评 本题是电磁感应与力学相结合的一道综合题，分析清楚运动过程是正确解题的前提与关键，分析清楚运动过程、应用安培力公式、牛顿第二定律、动能定理、功的计算公式即可正确解题．