Question

9．如图，在半径为r的轴上悬挂着一个质量为M的水桶P，轴上均匀分布着6根手柄，每个柄端固定有质量均为m的金属球，球离轴心的距离为l，轮轴、绳和手柄的质量及摩擦均不计，现由静止释放水桶，整个装置开始转动．
（1）从图示位置开始转过60°时，6个金属球中重力势能减少最多的是多少？
（2）当水桶下降的高度为h时，水桶的速度为多少？
（3）当水桶下降的高度为h时，若转轮恰好转过480°，求手柄对图中最底部的球所做的功．

Answer 1

分析 （1）确定出金属球下降的高度最大值，即可得到重力势能减少最大值．
（2）水桶下降的过程中，水桶和金属球组成的系统机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解水桶的速度；
（3）对最底部的球，运用动能定理求手柄对该球所做的功．

解答 解：（1）从图示位置开始转过60°时，6个金属球中下降的最大高度为：h=2lsin30°=l
重力势能减少最多的为：△E_p=mgh=mgl
（2）水桶下降的高度为h时，水桶的速度为v₁，金属球的速度为v₂，系统的机械能守恒，则有：
   Mgh=$\frac{1}{2}$Mv₁²+$\frac{1}{2}$×6mv₂²，
又：$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{ωr}{ωl}$=$\frac{r}{l}$，解得：v₁=$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$，v₂=$\sqrt{\frac{2Mgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$
（3）当水桶下降的高度为h时，转轮恰好转过480°时，图中最底部的球上升的高度为：
H=l（1+sin30°）=$\frac{3}{2}$l
对最底部的球，运用动能定理得：
W-mgH=$\frac{1}{2}$mv₂²，
解得手柄对图中最底部的球所做的功为：
W=$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$
答：（1）从图示位置开始转过60°时，6个金属球中重力势能减少最多的是mgl．
（2）当水桶下降的高度为h时，水桶的速度为$\sqrt{\frac{2Mgh{r}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}}$．
（3）当水桶下降的高度为h时，若转轮恰好转过480°，手柄对图中最底部的球所做的功是$\frac{3}{2}$mgl+$\frac{Mmgh{l}^{2}}{M{r}^{2}+6m{l}^{2}}$．

点评 解决本题的关键要根据几何关系分析水桶高度的变化，明确水桶的速度和金属球的速度的关系，再运用系统的机械能守恒进行解答．