Question

19．“嫦娥一号”的成功发射，为实现中华民族几千年的奔月梦想迈出了重要的一步．已知“嫦娥一号”绕月飞行轨道近似圆周，距月球表面高度为H，飞行周期为T，月球的半径为R，引力常量为G，试求：
（1）月球的质量M
（2）月球表面的重力加速度g₀．

Answer 1

分析 “嫦娥一号”围绕月球做圆周运动过程中，月球对“嫦娥一号”的万有引和提供“嫦娥一号”的向心力，由此列式可以求出月球的质量M；在月球表面，月球对物体的万有引力等于月球表面的重力，由此列式得出月球表面的重力加速度g₀．

解答 解：（1）由题意，嫦娥一号由万有引力提供向心力，设嫦娥一号的质量为m，月球的质量为M，因为轨道高度为H，则轨道半径r=R+H，根据万有引力提供向心力得：
$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
r=R+H，
得月球的质量：
$M=\frac{4{π}^{2}（R+H）^{3}}{G{T}^{2}}$．
（2）月球表面的重力和万有引力相等，即有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{0}$，
解得：${g}_{0}=\frac{GM}{{R}^{2}}=\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．
答：（1）月球的质量$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{G{T}^{2}}$．（2）月球表面的重力加速度$\frac{4{π}^{2}{（R+H）}^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．

点评 能正确根据卫星运动时的向心力由万有引力提供和量球表面的重力和万有引力相等列式求解有关质量、重力加速度问题．