Question

18．我国的“天链一号”卫星是地球同步卫星，可为中低轨道卫星提供数据通讯，如图为“天链一号”卫星a、赤道平面内的低轨道卫星b、地球的位置关系示意图，O为地心，地球相对卫星a、b的张角分别为θ₁和θ₂（θ₂图中未标出），卫星a的轨道半径是b的4倍，己知卫星a、b绕地球同向运行，卫星a的周期为T，在运行过程中由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通讯的盲区，卫星间的通讯信号视为沿直线传播，信号传输时间可忽略．下列分析正确的是（　　）

• A． 张角θ₁和θ₂满足sinθ₂=4sinθ₁
• B． 卫星a与卫星b运动的加速度之比4：1
• C． 卫星b每次在盲区运行的时间$\frac{（{θ}_{1}+{θ}_{2}）T}{14π}$
• D． 卫星a运行一周将与地心及卫星b共线14次

Answer 1

分析 根据几何关系求解张角θ₁和θ₂满足的关系，由万有引力提供向心力，列式求解卫星b的周期．卫星间的通讯信号视为沿直线传播，由几何关系得到卫星b在盲区有两个边缘相对于地球的张角，再求解在盲区运行的时间．

解答 解：A、设卫星a、b的轨道半径分别为${r}_{1}^{\;}$和${r}_{2}^{\;}$，地球半径为R，
由几何关系得$sin\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=\frac{R}{{r}_{1}^{\;}}$，$sin\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}=\frac{R}{{r}_{2}^{\;}}$
由题${r}_{1}^{\;}=4{r}_{2}^{\;}$，则得$4sin\frac{{θ}_{1}^{\;}}{2}=sin\frac{{θ}_{2}^{\;}}{2}$，由数学知识$sin{θ}_{2}^{\;}≠4sin{θ}_{1}^{\;}$，故A错误；
B、根据向心加速度$a=\frac{GM}{{r}_{\;}^{2}}$，得$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{r}_{2}^{2}}{{r}_{1}^{2}}=\frac{1}{16}$，故B错误；
C、如图，a、b是卫星盲区两个边缘位置，由几何知识可得$∠AOB={θ}_{1}^{\;}+{θ}_{2}^{\;}$，则$（\frac{2π}{\frac{T}{8}}-\frac{2π}{T}）t=∠AOB={θ}_{1}^{\;}+{θ}_{2}^{\;}$，解得，b每次在盲区运行的时间为$t=\frac{（{θ}_{1}^{\;}+{θ}_{2}^{\;}）}{14π}T$，故C正确；
D、根据$T=2π\sqrt{\frac{{r}_{\;}^{3}}{GM}}$，则周期之比为$\frac{{T}_{a}^{\;}}{{T}_{b}^{\;}}=\sqrt{\frac{{4}_{\;}^{3}}{{1}_{\;}^{3}}}=8$
设每隔时间t，a、b共线一次，$（{ω}_{b}^{\;}-{ω}_{a}^{\;}）t=π$，所以$t=\frac{π}{{ω}_{b}^{\;}-{ω}_{a}^{\;}}$=$\frac{{T}_{a}^{\;}{T}_{b}^{\;}}{2（{T}_{a}^{\;}-{T}_{b}^{\;}）}$
则故b运动一周的过程中，卫星a运行一周将与地心及卫星b共线的次数为：
$n=\frac{{T}_{a}^{\;}}{t}$=$\frac{2（{T}_{a}^{\;}-{T}_{b}^{\;}）}{{T}_{b}^{\;}}=14$，故D正确；
故选：CD

点评 本题既要掌握卫星问题的基本思路：万有引力提供向心力，更重要的是画出示意图，运用几何知识解答．