Question

16．如图所示，两根足够长的“∧”型平行金属导轨竖直固定放置，两侧导轨平面与水平面间的夹角均为θ=30°，导轨间距为L，电阻不计．导轨所在空间存在磁感应强度大小为B、方向分别垂直两侧导轨平面向上的匀强磁场．将质量为m的金属条ab垂直导轨放在右侧导轨上，金属条ab刚好不下滑；若将光滑导体棒cd垂直导轨置于左侧导轨上并由静止释放，当cd开始匀速运动时，ab刚好开始向上滑动．已知ab、cd接人电路的电阻均为R，cd下滑过程中始终与导轨垂直．
（1）求导体棒cd的质量M；
（2）已知cd从释放到开始匀速运动的过程中，ab中产生的热量为Q，求此过程中通过ab的电荷量q．

Answer 1

分析 （1）先研究ab棒刚好不下滑的状态，静摩擦力达到最大值，由平衡条件求得最大静摩擦力．再研究cd开始匀速运动时，ab刚好开始向上滑动的情形：分别对两棒运用平衡条件列式，联立即可求得M．
（2）由平衡条件求出cd棒匀速运动的速度，根据能量守恒定律求出cd棒下滑的距离，再由q=$\frac{△Φ}{R}$求解．

解答 解：（1）原来金属条ab刚好不下滑，则最大静摩擦力为：f_m=mgsin30°
当cd开始匀速运动时，ab刚好开始向上滑动．由平衡条件，
对ab棒有：F_安=f_m+mgsin30°
对cd棒有：F_安′=Mgsin30°
又 F_安=F_安′
可得 M=2m
（2）设cd棒下滑的距离为S．匀速运动的速度为v．则有：Mgsin30°=BIL=B$\frac{BLv}{2R}$L=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
解得：v=$\frac{2mgR}{{B}^{2}{L}^{2}}$
根据能量守恒定律得：Mgsin30°S=2Q+$\frac{1}{2}M{v}^{2}$
解得：S=$\frac{2Q+\frac{8{m}^{3}{g}^{2}R}{{B}^{4}{L}^{4}}}{mg}$
此过程中通过ab的电荷量为：q=$\overline{I}$t=$\frac{BL\overline{v}t}{2R}$=$\frac{BLS}{2R}$=$\frac{Q{B}^{4}{L}^{4}+4{m}^{3}{g}^{2}R}{mg{B}^{3}{L}^{3}}$
答：（1）导体棒cd的质量M是2m；
（2）此过程中通过ab的电荷量q是$\frac{Q{B}^{4}{L}^{4}+4{m}^{3}{g}^{2}R}{mg{B}^{3}{L}^{3}}$．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合，关键是计算安培力的大小和分析能量怎样转化，根据平衡条件和能量守恒进行研究．