Question

2．如图所示，竖直圆筒内壁光滑，高度20m，半径为R=15cm，固定在水平面上，顶部边沿有入口A．质量为1kg的小球用长为L=0.1m的绳子系在天花板上，将小球拉起一定高度释放，绳子最大拉力为20N，小球在A点边沿恰好与绳子断开，小球沿直径AB飞入圆筒，小球在筒内碰撞前后水平方向的速度等大反向，竖直方向的速度不变，碰撞时间忽略不计，取g=10m/s²，求：
（1）小球在筒内碰撞的次数
（2）最后落地点位置距离A点的水平距离．

Answer 1

分析 小球在最低点，根据合力提供向心力求出小球进入圆筒的速度，小球竖直方向做自由落体运动，据此求出运动时间，再根据水平方向速度大小不变，求出水平方向运动的总路程，从而求出小球在筒内碰撞的次数和最后落地点位置距离A点的水平距离．

解答 解：（1）小球在最低点，根据牛顿第二定律得：
T-mg=m$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{L}$，其中：T=20N，
解得：v₀=10m/s
小球竖直方向做自由落体运动，则运动的时间为：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×20}{10}}=2s$，
此时间内小球水平方向运动的总路程为：s=v₀t=20m，
每碰撞一次，小球运动的水平路程为：s′=2R=2×0.15m=0.3m，
则碰撞的次数为：n=$\frac{s}{s′}=\frac{20}{0.3}=66\frac{2}{3}$，
则小球在筒内碰撞的次数为67次，
（2）碰撞66次时，小球到达左侧，右向右运动$\frac{2}{3}s′=0.2m$落地，所以最后落地点位置距离A点的水平距离为0.2m．
答：（1）小球在筒内碰撞的次数为67次；
（2）最后落地点位置距离A点的水平距离为0.2m．

点评 本题主要考查牛顿第二定律以及平抛运动基本公式的直接应用，注意小球在筒内碰撞前后水平方向的速度等大反向，竖直方向的速度不变，则可以把小球的整个运动看成平抛运动，难度适中．