Question

1．如图是利用传送带装运煤块的示意图．其中传送带长20m，倾角θ=37°，煤块与传送带间的动摩擦因数μ=0.8，传送带的主动轮和从动轮半径相等，主动轮轴顶端与运煤车底板间的竖起高度H=3.2m，与运煤车车箱中心的水平距离x=1.6m．现在传送带底端由静止释放一些煤块（可视为质点），煤块在传送带的作用下先做匀加速直线运动，后与传送带一起做匀速运动，到达主动轮时随轮一起匀速转动．要使煤块在轮的最高点水平抛出并落在车箱中心，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（l）传送带匀速运动的速度v及主动轮和从动轮的半径R
（2）煤块在传送带上由静止开始加速至落到车底板所经过的时间T．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动的高度确定平抛的时间，再根据水平位移求出平抛运动的初速度．平抛运动的初速度等于传送带匀速运动的速度v．
当煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，煤块做平抛运动，根据牛顿第二定律求出从动轮的半径R．
（2）根据牛顿第二定律求出煤块做匀加速直线运动的加速度，根据t=$\frac{v}{a}$求出匀加速运动的时间，然后求出匀速运动的时间，加上平抛运动的时间，三个时间之和为煤块在传送带上由静止开始加速至落到车底板所经过的时间T．

解答 解：（l）煤块离开轮的最高点后做平抛运动，由平抛运动的公式，得：x=vt′，H=$\frac{1}{2}$gt′²
解得：v=x$\sqrt{\frac{g}{2H}}$=1.6×$\sqrt{\frac{10}{2×3.2}}$=2m/s
要使煤块在轮的最高点做平抛运动，则煤块到达轮的最高点时对轮的压力为零，由牛顿第二定律，得：
  mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
代入数据得：R=$\frac{{v}^{2}}{g}$=0.4m      
故传送带匀速运动的速度v为2m/s，从动轮的半径R为0.4m．
（2）由牛顿第二定律得：
煤块匀加运动的加速度 a=$\frac{μmgcos37°-mgsin37°}{m}$=μgcos37°-gsin37°=0.8×8-6=0.4m/s²
由v=v₀+at得：
匀加速运动的时间 t₁=$\frac{v}{a}$=$\frac{2}{0.4}$s=5s
匀加速运动的位移为：x₁=$\frac{1}{2}$at₁²=$\frac{1}{2}$×0.4×25m=5m，
则匀速运动的时间为：t₂=$\frac{L-{x}_{1}}{v}$=$\frac{20-5}{2}$s=7.5s，
平抛运动的时间为：t′=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×3.2}{10}}$s=0.8s，
则煤块在传送带上由静止开始加速至落回运煤车车箱中心所经过的时间为：T=t₁+t₂+t′=5+7.5+0.8=13.3s．
答：
（1）传送带匀速运动的速度v为2m/s，主动轮和从动轮的半径R为0.4m；
（2）煤块在传送带上由静止开始加速至落回运煤车车箱中心所经过的时间T为13.3s．

点评 解决本题的关键知道平抛运动的初速度等于传送带的速度，以及知道煤块先做匀加速运动再做匀速运动，最后做平抛运动，能边计算边分析物体的运动情况．