Question

11．如图所示，固定夺竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，圆环的最高点通过绝缘轻质细线悬挂一质量为m视为质点的金属小球．圆环带电均匀且带量为Q，小球与圆环同种电荷且电荷量为q，小球静止在垂直圆环平面的对称轴上的某一位置，已知静电力常量为k，重力加速度为g，则绳长为（　　）

• A． L=$\root{3}{\frac{kQqR}{mg}}$
• B． L=$\sqrt{\frac{kQqR}{mg}+{R}^{2}}$
• C． L=$\sqrt{\frac{kQq}{mg}+{R}^{2}}$
• D． L=$\root{3}{\frac{kQq{R}^{2}}{mg}}$

Answer 1

分析 小球受到的库仑力为圆环各点对小球库仑力的合力，则取圆环上△x来分析，再取以圆心对称的△x，这2点合力向右，距离L，竖直方向抵消，只有水平方向；求所有部分的合力Σ△m，即可求得库仑力的表达式；小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡，则由共点力的平衡条件可求得绳对小球的拉力及库仑力；则可求得绳长

解答 解：由于圆环不能看作点电荷，我们取圆环上一部分△x，设总电量为Q，则该部分电量为$\frac{△x}{2πR}$Q；
由库仑定律可得，该部分对小球的库仑力F₁=$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$，方向沿该点与小球的连线指向小球；
同理取以圆心对称的相同的一段，其库仑力与F₁相同；如图所示，
两力的合力应沿圆心与小球的连线向外，大小为2$\frac{KQ△XQ}{2π{L}^{2}R}$×$\sqrt{\frac{{L}^{2}-{R}^{2}}{L}}$；
因圆环上各点对小球均有库仑力，故所有部分库仑力的合力F_库=$\frac{k{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{π{L}^{3}R}$×πR=$\frac{k{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{{L}^{3}}$，方向水平向右；
小球受力分析如图所示，小球受重力、拉力及库仑力而处于平衡，故T与F的合力应与重力大小相等，方向相反；
由几何关系可得 $\frac{F}{\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}=\frac{k{Q}^{2}\sqrt{{L}^{2}-{R}^{2}}}{{L}^{3}}$
解得L=$\root{3}{\frac{kQqR}{mg}}$；
故A正确，BCD错误；
故选A．

点评 因库仑定律只能适用于真空中的点电荷，故本题采用了微元法求得圆环对小球的库仑力，应注意体会该方法的使用．
库仑力的考查一般都是结合共点力的平衡进行的，应注意正确进行受力分析