Question

20．如图所示，极地卫星的运行轨道通过地球的南北两极（轨道可视为圆轨道、地球可视为球体），若一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至赤道正上方时所用的时间为0.25h，已知纬度是指地球表面某点与地球球心的连线和地球赤道面所成的线面角，同步卫星的线速度大小为3.08km/s，则极地卫星的线速度大小为（　　）

• A． 1.54 km/s
• B． 3.08 km/s
• C． 6.16km/s
• D． 7.9 km/s

Answer 1

分析 根据极地卫星的运动轨迹，求出极地卫星的运行周期．卫星运动所需要的向心力由地球对卫星的万有引力提供，解出卫星的周期与轨道半径的关系和线速度与轨道板机的关系，得出极地卫星与同步卫星轨道半径关系，从而求得极地卫星的线速度大小．

解答 解：极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至赤道正上方时所用的时间为0.25h，转过的圆心角为 θ=30°，用时0.25h，故该极地卫星的周期为：
T_极=$\frac{360°}{30°}$×0.25h=3h．
而地球同步卫星的周期为 T_同=24h，所以$\frac{{T}_{极}}{{T}_{同}}$=$\frac{1}{8}$
由牛顿第二定律得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$r=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
得：T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$
可得：$\frac{{T}_{极}}{{T}_{同}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{极}^{3}}{{r}_{同}^{3}}}$
解得：$\frac{{r}_{极}}{{r}_{同}}$=$\frac{1}{4}$
由v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$得：$\frac{{v}_{极}}{{v}_{同}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{同}}{{r}_{极}}}$=$\sqrt{\frac{4}{1}}$=2
解得：极地卫星的线速度大小为：v_极=2v_同=2×3.08km/s=6.16km/s
故选：C

点评 卫星的线速度公式v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$和周期公式T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，要能灵活运用万有引力提供圆周运动的向心力推导出来，本题采用比例法求解比较简洁．