Question

16．在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H=50m的悬索（重力可忽略不计）系住一质量m=50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v₀=10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l=50-t²（单位：m）的规律变化，取g=10m/s²．求：
（1）求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小．
（2）求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小．
（3）直升机在t=5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）

Answer 1

分析 （1）根据A、B之间的竖直距离的表达式得出被困人员向上运动的加速度，根据牛顿第二定律求出拉力的大小．
（2）在5s内，被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做匀加速直线运动，分别求出水平方向和竖直方向上的速度和位移，根据平行四边形定则求出合速度和合位移．
（3）根据合外力提供圆周运动的向心力求出线速度的大小和绳子的拉力大小．

解答 解：（1）被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移：
y=H-l=50-（50-t²）=t²，
由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a=2m/s²的匀加速直线运动
由牛顿第二定律可得F-mg=ma
代入数据，解得悬索的拉力F=m（g+a）=600N．
（2）被困人员5s末在竖直方向上的速度为v_y=at=10m/s
合速度v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$=10$\sqrt{2}$m/s
竖直方向的位移y=$\frac{1}{2}$at²=25m
水平方向的位移x=v₀t=50m
合位移s=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=25$\sqrt{5}$ m．
（3）t=5s时悬索的长度
l′=50-y=25m，旋转半径r=l′sin 37°
由mgtan 37°=m$\frac{v{′}^{2}}{r}$

解得v′=$\frac{15}{2}\sqrt{2}$ m/s
此时被困人员B的受力情况如图所示，由图可知
F_Tcos 37°=mg
解得F_T=$\frac{mg}{cos37°}$=625N．
答：（1）这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小是600N；
（2）在5s末被困人员B的速度大小及位移大小分别是10$\sqrt{2}$ m/s和25$\sqrt{5}$ m；
（3）被困人员B做圆周运动的线速度$\frac{15}{2}\sqrt{2}$ m/s以及悬索对被困人员B的拉力625N．

点评 本题考查应用牛顿定律求解力的问题，关键是正确地进行受力分析，以及知道做匀速圆周运动，靠合力提供向心力．