Question

（18分）如右图所示，在竖直面内有一个光滑弧形轨道，其末端水平，且与处于同一竖直面内光滑圆形轨道的最低端相切，并平滑连接。A、B两滑块（可视为质点）用轻细绳拴接在一起，在它们中间夹住一个被压缩的微小轻质弹簧。两滑块从弧形轨道上的某一高度由静止滑下，当两滑块刚滑入圆形轨道最低点时拴接两滑块的绳突然断开，弹簧迅速将两滑块弹开，其中前面的滑块A沿圆形轨道运动恰能通过轨道最高点。已知圆形轨道的半径R=0.50m，滑块A的质量m_A=0.16kg，滑块B的质量m_B=0.04kg，两滑块开始下滑时距圆形轨道底端的高度h=0.80m，重力加速度g取10m/s²，空气阻力可忽略不计。

试求：（1）A、B两滑块一起运动到圆形轨道最低点时速度的大小；
（2）滑块A被弹簧弹开时的速度大小；
（3）弹簧在将两滑块弹开的过程中释放的弹性势能。

Answer 1

（1）4.0m/s（2）5.0 m/s（3）0.40J

（1）设滑块A和B运动到圆形轨道最低点速度为v₀，对滑块A和B下滑到圆形轨道最低点的过程，根据动能定理，有
（m_A+m_B）gh=（m_A+m_Bv₀²  ………………………………（2分）
解得       v₀="4.0m/s"   ………………………………（2分）
（2）设滑块A恰能通过圆形轨道最高点时的速度大小为v，根据牛顿第二定律有       m_Ag=m_Av²/R ………………………………（2分）
设滑块A在圆形轨道最低点被弹出时的速度为v_A，对于滑块A从圆形轨道最低点运动到最高点的过程，根据机械能守恒定律，有
m_Av_A²=m_Ag?2R+m_Av²  ………………………………（2分）
代入数据联立解得：v_A="5.0" m/s ………………………………（2分）
（3）对于弹簧将两滑块弹开的过程，A、B两滑块所组成的系统水平方向动量守恒，设滑块B被弹出时的速度为v_B，根据动量守恒定律，有
（m_A+m_B）v₀=m_A v_A+ m_Bv_B   ………………………………（2分）
解得： v_B=0          ………………………………（2分）
设弹簧将两滑块弹开的过程中释放的弹性势能为E_p，对于弹开两滑块的过程，根据机械能守恒定律，有  （m_A+m_B）v₀² + E_p=m_Av_A² ………………………………（2分）
解得：E_p=0.40J         ………………………………（2分）