Question

6．如图所示，长L=0.20m的丝线的一端拴一质量为m=1.0×10^-4 kg、带电荷量为q=+1.0×10^-6 C的小球，另一端连在一水平轴O上，整个装置处在竖直向上的匀强电场中，电场强度E=2.0×10³ N/C．现将小球拉到与轴O在同一水平面的A点上，然后给小球一个竖直向上的初速度v₀，使小球可在竖直面内做圆周运动，取g=10m/s²．求：
（1）v₀的最小值；
（2）小球通过最高点时，丝线对小球的拉力大小．

Answer 1

分析 （1）小球在最低点时绳子拉力为0时，速度最小，对从最低点到A过程根据动能定理列式求解A点的速度；
（2）先根据动能定理求出最高点的速度，在B点，球受到重力、拉力和电场力，合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解拉力．

解答 解：（1）电场力$F=Eq=2.0×1{0}_{\;}^{3}×1.0×1{0}_{\;}^{-6}N=2×1{0}_{\;}^{-3}$N
重力：$G=mg=1×1{0}_{\;}^{-4}×10=1{0}_{\;}^{-3}N$
将电场力和重力等效为$F′=F-G=1{0}_{\;}^{-3}N$，方向向上
在最低点即等效重力场的“最高点”，当绳子拉力为0时，
$F′=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
代入解得：$v=\sqrt{\frac{F′L}{m}}=\sqrt{\frac{1{0}_{\;}^{-3}×0.2}{1.0×1{0}_{\;}^{-4}}}=\sqrt{2}m/s$
从最低点到A点根据动能定理有：$F′L=\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入数据：$1{0}_{\;}^{-3}×0.2=\frac{1}{2}×1.0×1{0}_{\;}^{-4}（{v}_{0}^{2}-2）$
解得：${v}_{0}^{\;}=\sqrt{6}m/s$
（2）小球从最低点到最高点，根据动能定理，有
$F′•2L=\frac{1}{2}mv{′}_{\;}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
代入数据：$1{0}_{\;}^{-3}×0.4=\frac{1}{2}×1.0×1{0}_{\;}^{-4}（v{′}_{\;}^{2}-2）$
解得：$v′=\sqrt{10}m/s$
在最高点，根据向心力公式有：${F}_{T}^{\;}-F′=m\frac{v{′}_{\;}^{2}}{L}$
代入数据：${F}_{T}^{\;}-1{0}_{\;}^{-3}=1.0×1{0}_{\;}^{-4}\frac{10}{0.2}$
解得：${F}_{T}^{\;}=6×1{0}_{\;}^{-3}N$
答：（1）v₀的最小值$\sqrt{6}m/s$；
（2）小球通过最高点时，丝线对小球的拉力大小$6×1{0}_{\;}^{-3}N$

点评 本题关键是明确小球的运动情况和受力情况，然后结合动能定理和牛顿第二定律列式，注意本题中可以将重力和电场力的合力当成“重力”，等效重力场的“最高点”是圆周的最低点．