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    8．如图所示，半径R=0.8m的光滑$\frac{1}{4}$圆弧轨道固定在光滑水平面上，轨道上方的A点有一个可视为质点的质量m=1kg的小物块．小物块由静止开始下落后打在圆弧轨道上的B点但未反弹，此后小物块将沿着圆弧轨道滑下．已知A点与轨道的圆心O的连线长也为R，且AO连线与水平方向的夹角为30°，C点为圆弧轨道的末端，紧靠C点有一质量M=3kg的长木板，木板的上表面与圆弧轨道末端的切线相平，小物块与木板间的动摩擦因数μ=0.3，g取10m/s2．求：
    （1）小物块刚到达B点时的速度vB；
    （2）小物块沿圆弧轨道到达C点时对轨道压力FC的大小；
    （3）木板长度L至少为多大时小物块才不会滑出长木板？

    分析 （1）研究小物块自由下落的过程，根据动能定理求出小物块刚到B点的速度大小．
    （2）根据平行四边形定则求出物块到达B点时沿圆弧切线方向的速度大小．根据动能定理求出小物块滑到C点的速度大小，根据牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出物块对长木板的压力大小．
    （3）结合动量守恒定律和能量守恒定律求出长木板的最小长度．

    解答 解：（1）物体从A到B的过程，根据动能定理得：
       mg.2Rsin30°=$\frac{1}{2}$mvB2
    解得 vB=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}$=4m/s．
    （2）小物块刚到达B点时沿圆弧切线方向的速度大小 vB′=vBcos30°=2$\sqrt{3}$m/s．
    从B到C的过程，根据动能定理得：
      mg•$\frac{1}{2}$R=$\frac{1}{2}$mvC2-$\frac{1}{2}$mvB′2
    代入数据解得 vC=2$\sqrt{5}$（m/s）
    在C点，根据牛顿第二定律得
       FC′-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
    解得  FC′=35N
    则小物块滑到C点时对长木板的压力大小为 FC=FC′=35N．
    （3）设物块与木板相对静止时共同速度为v．取向右为正方向，根据动量守恒定律得：
     mvc=（M+m）v
    根据能量守恒得
       fL=$\frac{1}{2}$mvC2-$\frac{1}{2}$（M+m）v2
    联立两式解得 L=2.5m．
    所以要使小物块不滑出长木板，长木板长度L至少为2.5m．
    答：
    （1）小物块刚到达B点时的速度大小为4m/s．
    （2）小物块滑到C点时对长木板FC的压力大小为35N．
    （3）要使小物块不滑出长木板，长木板长度L至少为2.5m．

    点评 本题关键要理清物体各个阶段的运动规律，知道物块在长木板上运动时遵守动量守恒定律和能量守恒定律，摩擦生热与相对位移有关．

    练习册系列答案
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