Question

18．如图所示的四个定值电阻的阻值都是R，电键S闭合时，有一质量为m，电荷量为q的小球静止于平行板电容器极板间的中点O，现在把电键打开，此小球向一个极板运动，并与此极板相碰，碰撞时无机械能损失，碰撞后小球恰能运动到另一极板处，设两极板间的距离为d，电源内电阻不计，试计算：
（1）电源电动势E；
（2）小球和电容器一个极板碰撞后所带电荷量q′．

Answer 1

分析 （1）电键S闭合时，根据串并联电路的特点，求出电容器板间电压与电动势的关系，对小球受力情况进行分析，由电场力与重力平衡，即可求出板间电压，解得电源的电动势．
（2）断开S，由电路的关系求出电容器的板间电压，对带电小球运动的全过程，根据动能定理求解小球与极板碰撞后所带的电荷量．

解答 解：（1）电键K闭合时，R₁和R₃的并联电阻为R₁₃=0.5R
总电阻为：R_总=R₄+R₁₃=1.5R，
总电流为：I=$\frac{E}{1.5R}$
R₄两端电压为 U₄=IR=$\frac{2}{3}$E，即为电容器两端的电压．小球静止，即电场力与重力平衡，有：
qE_电=mg
又有 U₄=E_电d，可得电源电动势为：
E=$\frac{3mgd}{2q}$
（2）电键K打开时，R₄两端电压为：
U′₄=$\frac{1}{2}$E
平行板电容器间的电场强度变为：E′_电=$\frac{U{′}_{4}}{d}$=$\frac{3mg}{4q}$
小球所受电场力变为：F′=qE′_电=$\frac{3}{4}$mg＜mg
所以小球向下加速运动，根据牛顿第二定律得：
 mg-F′=ma
 解得：a=$\frac{g}{4}$
小球到达下极板时的速度为：v₁=$\sqrt{2a•\frac{d}{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{gd}$
碰撞没有机械能损失，返回时有：v₂=$\frac{1}{2}\sqrt{gd}$
向上运动由动能定律有：-mgd+q′U₄′=0-$\frac{1}{2}$mv₂²；
解得：q′=$\frac{7}{6}$q
答：（1）电源电动势为$\frac{3mgd}{2q}$．
（2）小球和极板碰撞后的带电量为$\frac{7}{6}q$．

点评 本题是电路与电场两部分知识的综合，关键是确定电容器的电压与电动势的关系．