Question

17．如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，OB与OC夹角为37°，CD连线是圆轨道竖直方向的直径（C、D为圆轨道的最低点和最高点），可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最低点C时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，该图线截距为2N，且过（0.5m，4N）点．取g=10m/s²．求：

（1）滑块的质量和圆轨道的半径；
（2）若要求滑块不脱离圆轨道，则静止滑下的高度为多少；
（3）是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D飞出后落在圆心等高处的轨道上．若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）当H=0时，由图象截距可知F=mg
当小物块从D点静止下滑，由图象知，h=0.5m时，对轨道的压力F₁=4N
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²  
F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
进而求解轨道半径；
（2）不脱离轨道分两种情况：
①到圆心等高处速度为零
②能通过最高点，通过最高点的临界条件v_D=$\sqrt{gR}$；
（3）假设滑块经过最高点D后平抛运动，将运动分解为水平和竖直方向运动求v_D，
滑块经过最高点D后直接落到直轨道AB上与圆心等高的点过程用动能定理求高度H．

解答 解：（1）当H=0时，由图象截距可知
F=mg=2N
m=0.2kg
当小物块从D点静止下滑，由图象知，h=0.5m，对轨道的压力F₁=4N
mgh=$\frac{1}{2}$mv₁²  
 F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得R=1m．
（2）不脱离轨道分两种情况：
①到圆心等高处速度为零
有能量守恒可知，滑块从静止开始下滑高度h₁≤R=1m
②通过最高点，通过最高点的临界条件v_D=$\sqrt{gR}$
设下落高度为H₀，
由动能定理mg（H₀-2R）=$\frac{1}{2}$mv_D²
解得H₀=2.5m
则应该满足下落高度h₂≥2.5m．
（3）假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点
OE=$\frac{R}{sin37°}$     
x=OE=v_Dt           
R=$\frac{1}{2}$gt²
解得：v_D=$\frac{5\sqrt{5}}{3}$m/s
而滑块过D点的临界速度v_DL=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10}$m/s
由于：v_D＞v_DL，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点
mg（H-2R）=$\frac{1}{2}$mv_DP²
解得：H=$\frac{97}{36}$m．
答：（1）滑块的质量和圆轨道的半径为1m；
（2）若要求滑块不脱离圆轨道，则静止滑下的高度h₁≤1m或者h₂≥2.5m；
（3）存在H值，H=$\frac{97}{36}$m．

点评 本题是动能定理与向心力、平抛运动及几何知识的综合，关键要注意挖掘隐含的临界条件，知道小球通过竖直平面圆轨道最高点时，重力恰好提供向心力，对于平抛运动，要结合几何知识进行求解