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    19．如图所示，一条不可伸长的轻绳长为R，一端悬于天花板上的O点，另一端系一质量为m的小球（可视为质点）．现有一个高为h，质量为M的平板车P，在其左端放有一个质量也为m的小物块Q（可视为质点），小物块Q正好处在悬点O的正下方，系统静止在光滑水平面地面上．今将小球拉至悬线与竖直位置成60°角，由静止释放，小球到达最低点时刚好与Q发生正碰，碰撞时间极短，且无能量损失．已知Q离开平板车时的速度大小是平板车速度的两倍，Q与P之间的动摩擦因数为μ，M：m=4：1，重力加速度为g．求：
    （1）小物块Q离开平板车时速度为多大？
    （2）平板车P的长度为多少？
    （3）小物块Q落地时距小球的水平距离为多少？

    分析 （1）小球下摆过程中，细线拉力不做功，只有重力做功，机械能守恒，由机械能守恒定律求出小球与Q碰撞前的速度大小；小球与小物块Q碰撞过程，时间极短，内力远大于外力，动量守恒，动能也守恒，由此列式，求出碰后两者的速度；Q在P上滑行时，小物块Q与小车系统受到的外力的合力为零，系统动量守恒，由动量守恒定律求Q离开平板车时的速度．
    （2）根据功能关系：P、Q系统减小的机械能等于产生的内能，而内能等于滑动摩擦力与相对路程的乘积，求解P的长度．
    （3）以地面为参考系，物块Q在小车上做匀减速直线运动，离开平板车后做平抛运动，根据牛顿第二定律和运动学公式结合求解Q落地时距小球的水平距离．

    解答 解：（1）设小球即将与物块Q碰撞前的速度为v0，小球由初始位置摆动到最低点的过程中，由机械能守恒定律可得：
     mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
    解得：${v_0}=\sqrt{gR}$
    设碰撞后小球速度为v1，物块Q速度为v2，由于小球与物块Q是弹性碰撞，所以碰撞过程满足机械能守恒和动量守恒，取向右为正方向，则得：$\frac{1}{2}mv_0^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2$
      mv0=mv1+mv2
    两式联立可得：v1=0，${v_2}={v_0}=\sqrt{gR}$
    即：速度交换，小球速度变为零，Q获得速度v0．
    设Q离开平板车时的速度大小为v，则平板车速度为$\frac{1}{2}v$，物块Q在小车上滑行的过程中，由动量守恒定律可得：
      $m{v_2}=mv+M×\frac{1}{2}v$
    又 M：m=4：1
    可得：$v=\frac{1}{3}\sqrt{gR}$
    （2）设平板车的长度为L，由题意可得物块Q在小车上滑行时，一部分动能转化为系统的内能，所以有：$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}m{v^2}-\frac{1}{2}M{（\frac{1}{2}v）^2}=μmgL$
    可得：$L=\frac{7R}{18μ}$
    （3）由题意可得，以地面为参考系，物块Q在小车上做匀减速直线运动，设其加速度为a，运动的位移为s1，离开平板车后做平抛运动，运动时间为t，水平位移为s2．
    由牛顿运动定律可得：$a=\frac{μmg}{m}=μg$
    由运动学公式得 ${v^2}-v_0^2=-2a{s_1}$
    Q离开平板车后做平抛运动，则有 $h=\frac{1}{2}g{t^2}$，s2=vt
    联立可得：物块运动的水平位移为 ${s_1}+{s_2}=\frac{4R}{9μ}+\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$
    由于小球与物块Q碰后处于静止状态，所以小物块Q落地时距小球的水平距离即为物块运动的水平位移：${s_1}+{s_2}=\frac{4R}{9μ}+\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$
    答：
    （1）小物块Q离开平板车时速度为$\frac{1}{3}\sqrt{gR}$．
    （2）平板车P的长度为$\frac{7R}{18μ}$．
    （3）小物块Q落地时距小球的水平距离为$\frac{4R}{9μ}$+$\frac{1}{3}\sqrt{2Rh}$．

    点评 本题采用程序法，逐一分析物体间的相互作用过程，分析得到物体间相互作用时满足的规律：动量守恒、能量守恒等，进而求出要求的物理量．

    练习册系列答案
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    （1）被救人员加速上升的时间和位移大小；
    （2）减速运动的时间；
    （3）直升机悬停时离地的高度．

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    （1）物体到达B点时的速度大小vB；
    （2）物块经过C点时与轨道间弹力的大小；
    （3）质量为m0的物块滑到木板中央与m发生碰撞并粘到一起，此时木板解除锁定，则木板长度满足什么条件，才能保证物块不滑离木板．

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    ①写出核反应方程；
    ②估算C核的速度大小．

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    A．轻绳烧断瞬间，cd的加速度大小a=$\frac{1}{2}$gsinθ
    B．轻绳烧断后，cd做匀加速运动
    C．轻绳烧断后，任意时刻两棒运动的速度大小之比vab：vcd=1：2
    D．棒ab的最大速度vabm=$\frac{4mgRsinθ}{{{3B}^{2}L}^{2}}$

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