Question

如图所示，长为L的细绳，一端系有一质量为m的小球，另一端固定在O点，细绳能够承受的最大拉力为9mg．现将小球拉至细绳呈水平位置，然后由静止释放，小球将在竖直平面内摆动，不计空气阻力．求：
（1）小球通过O点正下方时，小球对绳的拉力．
（2）如果在竖直平面内直线OA（OA与竖直方向的夹角为θ）上某一点O′钉一个小钉，为使小球可绕O′点在竖茸水平面内做完整圆周运动，且细绳不致被拉断，OO′的长度d所允许的范围．

Answer 1

解：（1）设小球在O点正下方时的速度为v₁，绳的拉力为F，由机械能守恒定律得：
mgL=
在最低点
解得 F=3mg
由牛顿第三定律得，小球对绳的拉力大小F′=3mg，方向竖直向下．
（2）设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r，恰能过最高点时速度为v₂，
则：
解得
由水平到最高点，由动能定理：
解得
因绳能承受的最大拉力为T_m=9mg，设小球在小圆轨道最低点的速度为v₃，
由向心力公式得：T_m-mg=
由动能定理得：
解得
所以r的取值范围：
由于d=L-r，所以有
答：（1）小球通过O点正下方时，小球对绳的拉力为3mg．
（2）d所允许的范围为．
分析：（1）从静止到O点正下方得过程中根据机械能守恒定律列式，在最低点根据向心力公式列式，联立即可求解；
（2）设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r，恰能过最高点时速度为v₂，根据向心力公式求出最高点速度，由水平到最高点，由动能定理求得最大半径，对小球在小圆最低点时由向心力公式结合动能定理求出最小半径，进而求出半径的范围，由于d=L-r，即可求出d的范围．
点评：本题主要考查了动能定理及向心力公式的应用，要注意小球能最高点对速度有要求，在最低时绳子的拉力不能超过最大承受力，难度适中．