Question

20．如图示为仓库中常用的皮带传输装置示意图，它由两台皮带传送机组成，一台水平传送，A、B 两端相距3m，另一台倾斜，传送带与地面的倾角θ=37°，C、D两端相距4.45m，B、C相距很近．水平部分AB以v₀=5m/s的速率顺时针转动．将质量为10kg 的一袋大米放在A 端，到达B 端后，速度大小不变地传到倾斜的CD 部分，米袋与传送带间的动摩擦因数均为0.5．试求：
（1）若CD部分传送带不运转，求米袋沿传送带所能上升的最大距离．
（2）若让CD部分传送带顺时针转动，并使米袋能被送到D 端．
①若要运送的时间最短，试求出CD部分顺时针运转的速度大小、最短时间和电动机消耗的电能．
②若要运送的时间最长，试求出CD部分顺时针运转的速度大小、最长时间和电动机消耗的电能．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律可求得米的加速度，因米袋的最大速度只能为5m/s，则应判断米袋到达B点时是否已达最大速度，若没达到，则由位移与速度的关系可求得B点速度，若达到，则以5m/s的速度冲上CD；在CD面上由牛顿第二定律可求得米袋的加速度，则由位移和速度的关系可求得上升的最大距离；
（2）米袋在CD上应做减速运动，若CD的速度较小，则米袋的先减速到速度等于CD的速度，然后可能减小到零，此为最长时间；而若传送带的速度较大，则米袋应一直减速，则可求得最短时间．结合功能关系求解电动机消耗的电能．

解答 解：（1）米袋在AB上匀加速时的加速度 a₀=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.5×10=5m/s²
米袋的速度达到v₀=6m/s时，滑行的距离 s₀=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{0}}$=$\frac{{5}^{2}}{2×5}$=2.5m＜AB=3m，因此米袋在到达B点之前就有了与传送带相同的速度
设米袋在CD上运动的加速度大小为a，由牛顿第二定律得：
  mgsinθ+μmgcosθ=ma
代入数据得 a=10m/s²
所以能滑上的最大距离 s=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2a}$=$\frac{{5}^{2}}{2×10}$m=1.25m
（2）设CD部分运转速度为v₁时米袋恰能到达D点（即米袋到达D点时速度恰好为零），则米袋速度减为v₁之前的加速度为
  a₁=-g（sinθ+μcosθ）=-10 m/s²
米袋速度小于v₁至减为零前的加速度为
  a₂=g（sinθ-μcosθ）=2 m/s²
由$\frac{{v}_{1}^{2}-{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}}$+$\frac{0-{v}_{1}^{2}}{2{a}_{2}}$=4.45m
解得：v₁=4m/s，即要把米袋送到D点，CD部分的速度v_CD≥v₁=4m/s
①若CD部分传送带的速度较大，使米袋沿CD上滑时所受摩擦力一直沿皮带向上，
则所用时间最短，此种情况米袋加速度一直为a₂．
由S_CD=v₀t_min+$\frac{1}{2}$a₂t²_min，
代入数据得：最短时间 t_min=1.06s
米袋到达D点时的速度为 v=v₀+a₂t_min=5+2×1.06=7.12m/s，所以若要运送的时间最短，CD部分顺时针运转的速度大小大于等于7.12m/s．
电动机消耗的电能为 E_电=mgsinθ•S_CD+（$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$）+μmgcosθ（vt_min-S_CD）=519.35J
②米袋恰能运到D点所用时间最长为 t_max=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}$+$\frac{v-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=2.1s
代入数据得：最长时间 t_max=2.1s
此时CD部分的速度为 v_CD=v₁=4m/s
米袋速度减为v₁之前的时间 t₁=$\frac{{v}_{1}-{v}_{0}}{{a}_{1}}$=$\frac{4-5}{-10}$=0.1s
米袋速度小于v₁至减为零前的时间 t₂=$\frac{0-{v}_{1}}{{a}_{2}}$=$\frac{0-4}{-2}$s=2s
电动机消耗的电能为 E_电=mgsinθ•S_CD-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$+μmgcosθ（$\frac{{v}_{0}+{v}_{1}}{2}$t₁-v₁t₁+v₁t₂-$\frac{{v}_{1}+0}{2}{t}_{2}$）=304J
答：
（1）若CD部分传送带不运转，米袋沿传送带所能上升的最大距离是1.25m．
（2）若让CD部分传送带顺时针转动，并使米袋能被送到D 端．
①若要运送的时间最短，CD部分顺时针运转的速度大小大于等于7.12m/s、最短时间是1.06s，电动机消耗的电能是519.35J．
②若要运送的时间最长，CD部分顺时针运转的速度大小是4m/s，最长时间是2.1，电动机消耗的电能是304J．

点评 本题难点在于通过分析题意找出临条界件，注意米袋在CD段所可能做的运动情况，从而分析得出题目中的临界值为到达D点时速度恰好为零．