Question

13．某同学通过查阅资料得知，月球半径是地球半径的$\frac{1}{4}$，月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的$\frac{1}{6}$，万有引力常量为G，则：
（1）地球和月球质量之比
（2）在地球和月球表面发射卫星所需最小速度之比
（3）在地球和月球表面近地圆周飞行的卫星周期之比．

Answer 1

分析 （1）星球表面重力与万有引力大小相等求得重力加速度与半径和质量的关系，从而由重力加速度和半径关系求出中心天体质量关系；
（2）发射卫星所需要的最小速度就是该星球的第一宇宙速度也是近地卫星的运行速度，根据质量和半径关系求出第一宇宙速度之比；
（2）根据星球半径和第一宇宙速度求卫星的周期之比．

解答 解：（1）星球表面重力与万有引力相等有：$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$，
由此可得星球质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$
所以有：$\frac{{M}_{地}}{{M}_{月}}=\frac{\frac{{g}_{地}{R}_{地}^{2}}{G}}{\frac{{g}_{月}{R}_{月}^{2}}{G}}$=$\frac{{g}_{地}}{{g}_{月}}•（\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}）^{2}$=$\frac{1}{\frac{1}{6}}×（\frac{1}{\frac{1}{4}}）^{2}=\frac{96}{1}$
（2）卫星的最小发射速度也就是该星球的第一宇宙速度，也就是贴近星球表面飞行的卫星的速度，故在忽略星球自转的情况下万有引力等于物体的重力，当卫星贴近地球表面圆周运动运动时有：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
得：v=$\sqrt{gR}$
解得：$\frac{{v}_{地}}{{v}_{月}}=\frac{\sqrt{{g}_{地}{R}_{地}}}{\sqrt{{g}_{月}{R}_{月}}}=\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{6}}×\frac{1}{\frac{1}{4}}}=\frac{2\sqrt{6}}{1}$
（3）贴近星球表面飞行的卫星周期之比：
$\frac{{T}_{地}}{{T}_{月}}=\frac{\frac{2π{R}_{地}}{{v}_{地}}}{\frac{2π{R}_{月}}{{v}_{月}}}=\frac{{v}_{月}}{{v}_{地}}•\frac{{R}_{地}}{{R}_{月}}=\frac{1}{2\sqrt{6}}×\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
答：（1）地球和月球质量之比为96：1；
（2）在地球和月球表面发射卫星所需最小速度之比2$\sqrt{6}$：1
（3）在地球和月球表面近地圆周飞行的卫星周期之比$\sqrt{6}：3$．

点评 当不知道中心天体的质量和万有引力常量G，并知道中心天体表面的重力加速度g的时候要用黄金代换公式$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mg$求出GM=gR²．这是我们常用的一个技巧和方法要注意掌握．