Question

1．有一宇宙飞船，以速度v接近某行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得下列物理量的结果错误的是（　　）

• A． 该行星的半径为$\frac{vT}{2π}$
• B． 该行星的平均密度为$\frac{3π}{{G{T^2}}}$
• C． 该行星的质量为$\frac{{4{π^2}v}}{{G{T^2}}}$
• D． 该行星表面的重力加速度为$\frac{2πv}{T}$

Answer 1

分析 根据线速度与周期的关系求出行星的半径；根据万有引力提供向心力求出行星的质量，结合行星的体积求出行星的平均密度；根据行星的半径和行星质量的表达式求出行星的质量．根据万有引力等于重力求出行星表面的重力加速度．

解答 解：A、根据$v=\frac{2πR}{T}$，得行星半径$R=\frac{vT}{2π}$，故A正确；
B、根据$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$，得行星质量$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，则行星的平均密度$ρ=\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3π}{G{T}_{\;}^{2}}$，故B正确；
C、由B知$M=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}×\frac{{v}_{\;}^{3}{T}_{\;}^{3}}{（2π）_{\;}^{3}}=\frac{{v}_{\;}^{3}T}{2πG}$，故C错误；
D、根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$，解得$g=\frac{GM}{{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{3}}{{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}R}{{T}_{\;}^{2}}=\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}\frac{vT}{2π}$=$\frac{2πv}{T}$，故D正确；
本题选错误的，故选：C

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力提供向心力，2、万有引力等于重力，并能灵活运用．