Question

12．探月工程二期“嫦娥三号”成功发射．这极大地提高了同学们对月球的关注程度，以下是某同学就有关月球的知识设计的问题情景：
假设月球半径为R，“嫦娥三号”在离月球中心距离为r的圆形轨道I运动，其运动周期为T，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道II，到达轨道的近月B再次点火变轨到贴近月球表面的轨道III绕月球作圆周运动，此时“嫦娥三号”的速度即为该星球的第一宇宙速度．在轨道III运行多圈后，“嫦娥三号”点火减速实现在月球上的软着陆．
（1）月球表面的重力加速度；
（2）月球的第一宇宙速度．

Answer 1

分析 （1）嫦娥三号绕圆形轨道I做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，又因为在月球表面万有引力近似等于重力G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，联立可解得月球表面的重力加速度g．
（2）由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，结合G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，代入g的值，可解得月球的第一宇宙速度

解答 解：（1）设月球的质量为M，嫦娥三号的质量为m．嫦娥三号绕圆形轨道I做匀速圆周运动时，由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²，
设月球表面的重力加速度为g，在月球表面万有引力近似等于重力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mg，
联立解得：g=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
（2）嫦娥三号在贴近月球表面的圆轨道上运动的线速度为v，由万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
联立以上各式，解得：v=$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$
答：（1）月球表面的重力加速度为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{{T}^{2}{R}^{2}}$
（2）月球的第一宇宙速度为$\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{r}{R}}$

点评 本题主要考查万有提供向心力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr（$\frac{2π}{T}$）²）²和在星球表面万有引力近似等于重力G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mg，这两个关系对于解决天体运动问题非常重要，一定要理解并掌握．