Question

3．如图所示，一块质量为M的长木板A静置于水平地面上，质量为m的小木块B以速度v₀沿水平方向运动并恰好从左端滑上木板，设木板足够长，木块始终在木板上运动．设木板与地面间的动摩擦因数为μ₂，木块与木板间的动摩擦因数为μ₁，重力加速度为g，且M=m，μ₁=3μ，μ₂=μ．求：
（1）从木板开始运动到最后停止运动共经历的时间；
（2）木板在地面上滑行的距离s；
（3）木块相对木板滑行的距离△s．

Answer 1

分析 （1）A做匀加速直线运动、B做匀减速直线运动，当两者速度相等后一起做匀减速直线运动直到停止，由牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出运动时间．
（2）应用匀变速直线运动的平均速度公式可以求出木板的位移．
（3）应用匀变速直线运动的平均速度公式求出木块的位移，然后求出相对距离．

解答 解：（1）由牛顿第二定律，
对木块B：a₁=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=3μg，
对木板A：a₂=$\frac{{μ}_{1}mg-{μ}_{2}（M+m）g}{M}$=μg，
设两物体经过时间t₁速度相等，则有：v=v₀-a₁t₁=a₂t₁，
解得：t₁=$\frac{{v}_{0}}{4μg}$，v=$\frac{1}{4}$v₀，
当两物体间无相对运动后，两者共同运动，直到速度减为零．设共同减速的加速度为a，对整体，由牛顿第二定律得：
a=$\frac{{μ}_{2}（M+m）g}{M+m}$=μg，
设共同减速所用时间为t₂，则：t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{{v}_{0}}{4μg}$，
设共经历时间为t，则：t=t₁+t₂=$\frac{{v}_{0}}{2μg}$；
（2）物体v-t图象如图所示，木板在地上滑行的距离：s=$\frac{0+v}{2}$t₁+$\frac{v+0}{2}$t₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{16μg}$，
（3）木块在木板上滑行的距离为：△s=s_木块-s_木板=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t₁-$\frac{v+0}{2}$t₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{8μg}$；
答：（1）从木板开始运动到最后停止运动共经历的时间为$\frac{{v}_{0}}{2μg}$；
（2）木板在地面上滑行的距离s为$\frac{{v}_{0}^{2}}{16μg}$；
（3）木块相对木板滑行的距离△s为$\frac{{v}_{0}^{2}}{8μg}$．

点评 本题是一道力学综合题，物体运动过程复杂，分析清楚物体的受力情况与运动情况是解题的关键，应用牛顿第二定律与运动学公式可以解题．