Question

7．如图甲所示，平行于光滑斜面的轻弹簧劲度系数为k，一端固定在倾角为θ的斜面底端，另一端与物块A连接，两物块A、B质量均为m，初始时均静止，现用平行于斜面向上的力F拉动物块B，使B做加速度为a的匀加速运动，A、B两物块在开始一段时间内的vt关系分别对应图乙中A、B图线（图中t₁、t₂、v₁及v₂均未知）．

（1）求t₁时刻及t₂时刻弹簧的形变量．
（2）求t₁时刻，A、B刚分离时的速度．
（3）试讨论从开始到t₂时刻，拉力F的变化情况．

Answer 1

分析 （1）A的速度最大时加速度为零，根据胡克定律求形变量；
（2）由图读出，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律和运动学公式求解分离时的速度；
（3）根据牛顿第二定律得出拉力F与形变量的关系，然后分析拉力的变化情况．

解答 解析　由图乙可知，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律有：kx₁-mgsinθ=ma，
则x₁=$\frac{mgsinθ+ma}{k}$；
由图乙知，t₂时刻A的加速度为零，速度最大，根据牛顿第二定律和胡克定律得：mgsinθ=kx₂，
则得x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）由图乙可知，t₁时刻A、B开始分离，对A根据牛顿第二定律有kx₁-mgsinθ=ma，
开始时有2mgsinθ=kx₀；
又x₀-x₁=$\frac{1}{2}$at${\;}_{1}^{2}$，
速度v₁=at₁=$\sqrt{\frac{2a（mgsinθ-ma）}{k}}$；
（3）从开始到t₁时刻，对A、B整体，根据牛顿第二定律得F+kx₁-2mgsinθ=2ma，
得F=2mgsinθ+2ma-kx₁，x₁减小，F增大．
t₁时刻到t₂时刻，对B，由牛顿第二定律得F-mgsinθ=ma，得F=mgsinθ+ma，可知F不变．
答：（1）求t₁时刻弹簧的形变量为x₁=$\frac{mgsinθ+ma}{k}$；t₂时刻弹簧的形变量为x₂=$\frac{mgsinθ}{k}$；
（2）t₁时刻，A、B刚分离时的速度为$\sqrt{\frac{2a（mgsinθ-ma）}{k}}$；
（3）从开始到t₁时刻，随着位移增大、牵引力逐渐增大；t₁时刻到t₂时刻，拉力F不变．

点评 从受力角度看，两物体分离的条件是两物体间的正压力为0．从运动学角度看，一起运动的两物体恰好分离时，两物体在沿斜面方向上的加速度和速度仍相等．