Question

15．某行星半径为R，以其第一宇宙速度运行的卫星绕该行星的周期为T，如果在该行星上发射一颗同步卫星，并在其同步轨道上以速度v作匀速圆周运动时，可以与该行星自转同步．则同步卫星的轨道半径为？该行星的自转周期为？

Answer 1

分析 研究同步卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式．研究近地卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式．
两个等式进行对比，求出同步卫星的轨道半径．

解答 解：对同步卫星，由万有引力提供向心力得：
$G\frac{mM}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$     ①
同理对近地卫星有：
$G\frac{mM}{{R}^{2}}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$   ②
由①②两式解得：r=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{v}^{2}{T}^{2}}$
由于同步卫星周期与自转周期相同，故T_自=T_同=$\frac{2πr}{v}$=$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{v}^{3}{T}^{2}}$
答：同步卫星的轨道半径为$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{{v}^{2}{T}^{2}}$，该行星的自转周期为$\frac{8{π}^{3}{R}^{3}}{{v}^{3}{T}^{2}}$．

点评 向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．知道同步卫星的周期必须与行星自转周期相同．