Question

13．如图所示，一个质量为M的圆管竖直放置，顶端塞有一个质量为m的弹性小球，M=5m，球和管间的滑动摩擦力和最大静摩擦力大小均为5mg．管从下端离地面距离为H处自由落下，运动过程中，管始终保持竖直，设管落地后向上弹起的速度与落地时速度大小相等，不计空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）管落地弹起时管和球的加速度大小和方向；
（2）管落地弹起后，若球没有从管中滑出，则管达到最高点时，管的下端距地面的高度；
（3）管弹起后球不致滑落，管长L至少应为多长．

Answer 1

分析 （1）根据v₀²=2gH求出圆管底端落地前瞬间的速度．根据牛顿第二定律分别求出管反弹后，球和管的加速度，从而得知球相对于管的加速度，以管为参考系，根据速度位移公式求出球相对于管静止时的相对位移，即可求解．
（2）根据管上升的加速度，以及相对加速度分别求出管从碰地到它弹到最高点所需时间和管从碰地到与球相对静止所需的时间，比较两个时间知道球与管的运动情况，再根据运动学公式求出管上升的最大高度．
（3）根据运动学公式，即可求解．

解答 解：（1）管第一次落地弹起时，
管的加速度${a_1}=\frac{5mg+5mg}{5m}=2g$，方向向下
球的加速度${a_2}=\frac{f-mg}{m}=4g$，方向向上
（2）取竖直向下为正方向．球与管第一次碰地时速度${v_0}=\sqrt{2gH}$，方向向下．
碰地后管的速度${v_1}=-\sqrt{2gH}$，方向向上；球的速度${v_2}=\sqrt{2gH}$，方向向下
若球刚好没有从管中滑出，设经过时间t₁，球管速度v相同，
则有-v₁+a₁t₁=v₂-a₂t₁
${t_1}=\frac{{2{v_0}}}{{{a_1}+{a_2}}}=\frac{{\sqrt{2gH}}}{3g}$
又管从碰地到它弹到最高点所需时间t₂，则：${t_2}=\frac{v_0}{a_1}=\frac{{\sqrt{2gH}}}{2g}$
因为t₁＜t₂，说明管在达到最高点前，球与管相对静止，故管从弹起经t₁这段时间上升的高度为所求．得
${h_1}={v_1}t-\frac{1}{2}{a_1}t_1^2=\frac{v_1^2}{3g}-\frac{v_1^2}{9g}=\frac{4}{9}H$
球与管达到相对静止后，将以速度v、加速度 g竖直上升到最高点，由于
$v={v_2}-{a_2}{t_1}=-\frac{1}{3}\sqrt{2gH}$，
故这个高度是${h_2}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{{{（\frac{1}{3}\sqrt{2gH}）}^2}}}{2g}=\frac{1}{9}H$
因此，管第一次落地弹起后上升的最大高度$Hm={h_1}+{h_2}=\frac{5}{9}H$
（3）这个高度是${h_2}=\frac{v^2}{2g}=\frac{{{{（\frac{1}{3}\sqrt{2gH}）}^2}}}{2g}=\frac{1}{9}H$
因此，管第一次落地弹起后上升的最大高度$Hm={h_1}+{h_2}=\frac{5}{9}H$
这一过程球运动的位移$s={v_0}{t_1}-\frac{1}{2}{a_2}t_1^2=\frac{2}{9}H$
则球与管发生相对位移${s_1}={h_1}+s=\frac{2}{3}H$
当管与球从H_m再次下落，第二次落地弹起中，发生的相对位移由第一次可类推知：${s_2}=\frac{2}{3}{H_m}$
所以管第二次弹起后，球不会滑出管外的条件是s₁+s₂＜L
即L应满足条件$L＞\frac{28}{27}H$
答：（1）管第一次落地弹起时管和球的加速度分别为2g方向竖直向下和4g方向竖直向上；
（2）管落地弹起后，若球没有从管中滑出，则管达到最高点时，管的下端距地面的高度是$\frac{5}{9}H$；
（3）管第二次弹起后球不致滑落，L应满足$L＞\frac{28}{27}H$．

点评 本题的难点在于管和球的运动情况难于判断，关键通过计算理清球和管的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式进行求解．