Question

18．如图所示，长为L两极板水平放置，其间距也为L．一个质量为m，电荷量为q的带正电的粒子，以某一初速度沿中轴线OO′射入两板间．若两板间只存 在竖直向下的匀强电场（图中未画出），粒子射出时的速度为v方向与OO′的夹角45⁰．若两板间只存在垂直纸面向里的匀强磁场，粒子仍以原来的初速度沿中轴线OO′射入，射出的方向与OO′的夹角为30°（图中未画出）．不计粒子的重力，求：
（1）所加匀强电场的电场强度．
（2）所加匀强磁场的磁感应强度．
（3）若上述的电场、磁场同时存在，欲使粒子沿OO′直线通过，粒子入射的初速的大小．

Answer 1

分析 （1）两极板间只存在竖直向下的匀强电场时，粒子在电场中做类平抛运动，根据运动的合成与分解，分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动，将射出速度分解为水平和竖直方向，水平分速度即为${v}_{0}^{\;}$，竖直分速度为${v}_{y}^{\;}$，根据牛顿第二定律求加速度，时间t=$\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}$，${v}_{y}^{\;}=at$，联立即可求出E；
（2）板间只存在垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子做匀速圆周运动，根据几何关系求出半径，洛伦兹力提供向心力得出半径公式，即可求出B；
（3）电场、磁场同时存在，欲使粒子沿OO′直线通过，则电场力和洛伦兹力平衡，即可求出粒子入射的初速的大小

解答 解：（1）粒子在电场中做类平抛运动，将射出速度v分解为水平和竖直分速度
初速度${v}_{0}^{\;}=vcos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}v$
竖直分速度${v}_{y}^{\;}=vsin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}v$
根据牛顿第二定律，加速度$a=\frac{Eq}{m}$
运动时间$t=\frac{L}{{v}_{0}^{\;}}=\frac{L}{\frac{\sqrt{2}}{2}v}=\frac{\sqrt{2}L}{v}$
竖直速度${v}_{y}^{\;}=at$
联立得$\frac{\sqrt{2}}{2}v=\frac{Eq}{m}•\frac{\sqrt{2}L}{v}$
解得：$E=\frac{m{v}_{\;}^{2}}{2qL}$
（2）板间只存在垂直纸面向里的匀强磁场时，粒子做匀速圆周运动

根据几何关系有$sin30°=\frac{L}{R}$
即R=2L
由洛伦兹力提供向心力，有
$q{v}_{0}^{\;}B=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
得$R=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qB}$
$B=\frac{m{v}_{0}^{\;}}{qR}=\frac{m\frac{\sqrt{2}}{2}v}{q•2L}=\frac{\sqrt{2}mv}{4qL}$
（3）若上述的电场、磁场同时存在，欲使粒子沿OO′直线通过，则有
$q{v}_{0}^{′}B=Eq$
解得：${v}_{0}^{′}=\frac{E}{B}=\sqrt{2}v$
答：（1）所加匀强电场的电场强度为$\frac{m{v}_{\;}^{2}}{2qL}$．
（2）所加匀强磁场的磁感应强度为$\frac{\sqrt{2}mv}{4qL}$．
（3）若上述的电场、磁场同时存在，欲使粒子沿OO′直线通过，粒子入射的初速的大小为$\sqrt{2}v$

点评 带电粒子在电场中运动分为加速和偏转两种类型，常运用动能定理和平抛运动规律求解，注意运算时要细心，而在匀强磁场中运动时，重要的是由运动径迹利用几何关系找到半径的大小，由洛伦兹力提供向心力，利用牛顿第二定律求解即可