Question

13．如图甲所示，平行正对金属板A、B间距为d，板长为L，板面水平，加电压后其间匀强电场的场强大小为E=$\frac{2}{π}$V/m，方向竖直向上．板间有周期性变化的匀强磁场，磁感应强度大小随时间变化的规律如图乙所示，设磁感应强度垂直纸面向里为正方向．T=0时刻，一带电粒子从电场左侧靠近B板处（粒子与极板不接触）以水平向右的初速度v₀开始做匀速直线运动．己知B₁=0.2T，B₂=0.1T，g=10m/s²．

（1）判断粒子的电性并求出粒子的比荷．
（2）若从t₀时刻起，经过3s的时间粒子速度再次变为水平向右，则t₀至少多大？
（3）若t₀=$\frac{3}{π}$s要使粒子不与金属板A碰撞且恰能平行向右到达A的右端，试求d与L比值的范围．

Answer 1

分析 （1）开始粒子做匀速直线运动，由平衡条件就能求出粒子的比荷．
（2）先求出粒子在正负磁场中运动的周期，看两个半周期与3s的关系，从而判断出粒子在何处．结合粒子的运动轨迹，画出粒子在时间t₀内运动的距离与半径R₂关系，就能t₀求出满足的关系．
（3）经过多次旋转和多次直线运动后到达A板右边缘，这又是一个多解问题：水平方向和竖直方向必须满足一定的关系，竖直方向距离d恰是n（2R₁+2R₂）；水平方向恰是（n+1）v₀t，据此关系就能求出两者之比．

解答 解：（1）由题意知粒子带正电
  由平衡的知识可得：
  mg=qE
  代入数据得：$\frac{q}{m}=5π\\;C/kg$
（2）由T=$\frac{2πm}{qB}$   得粒子在磁感应强度为B₁、B₂的磁场中做匀速圆周运动的周期分别为：
  T₁=2s    T₂=4s
  又由  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$  
  得粒子在磁感应强度为B₁、B₂的磁场中做匀速圆周运动的轨道半径分别为：
   ${R}_{1}=\frac{{v}_{0}}{π}\$      ${R}_{2}=\frac{2{v}_{0}}{π}$
  故粒子从t=0时刻开始运动的一个周期内的轨迹如图所示．
  据题意有：v₀t₀≥R₂
   所以：${t}_{0}≥\frac{{R}_{2}}{{v}_{0}}$
（3）设粒子经n个运动周期后能平行向右到达A板右边缘，则：
  竖直方向  d=n（2R₁+2R₂），n=1，2，3 …
  水平方向L_min=nv₀t₀+v₀t₀    n=1，2，3 …
  联立以上四式并代入数据得：$\frac{2n}{n+1}≤\frac{d}{L}≤\frac{6n}{3n+1}$   n=1，2，3 …
答：（1）判断粒子的电性并求出粒子的比荷为5π．
（2）若从t₀时刻起，经过3s的时间粒子速度再次变为水平向右，则t₀至少多大$\frac{2}{π}s$．
（3）若t₀=$\frac{3}{π}$s要使粒子不与金属板A碰撞且恰能平行向右到达A的右端，d与L比值的范围是$\frac{2n}{n+1}≤\frac{d}{L}≤\frac{6n}{3n+1}$  （n=1，2，3 …）．

点评 本题是一道带电粒子交替在电场和正负磁场中做特殊情况下的运动，由于周期的特殊性，所以要分段进行考察，找出运动规律，结合运动轨迹，不难得到正确结果．但要注意的是本题的多解性，每个一次直线运动后，在竖直方向旋转几次，余次类推，最后达到A板的右边缘．