Question

10．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为L的正方形的四个顶点上，其中L远大于R．已知万有引力常量为G．忽略星体自转效应，关于四星系统，下列说法正确的是（　　）

• A． 四颗星圆周运动的轨道半径均为$\frac{L}{2}$
• B． 四颗星圆周运动的线速度均为 $\sqrt{\frac{Gm}{L}（2+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$
• C． 四颗星圆周运动的周期均为2π $\sqrt{\frac{2{L}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
• D． 四颗星表面的重力加速度均为G$\frac{m}{{R}^{2}}$

Answer 1

分析 在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力，根据合力提供向心力，求出星体匀速圆周运动的线速度和周期．
根据万有引力等于重力，求出星体表面的重力加速度．

解答 解：A、任一颗星体在其他三个星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，任一星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，轨道半径均：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，故A错误．
B、星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由万有引力定律和向心力公式得：G$\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}$+G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}L}$，解得：v=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{4L}}$，故B错误；
C、由牛顿第二定律得：G$\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}$+G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•$\frac{\sqrt{2}L}{2}$，解得：T=2π$\sqrt{\frac{2{L}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故C正确；
D、星球表面的物体受到的万有引力等于它受到的重力，即：G$\frac{mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故D正确；
故选：CD．

点评 本题考查了万有引力定律的应用，解决本题的关键掌握万有引力等于重力，以及知道在四颗星组成的四星系统中，其中任意一颗星受到其它三颗星对它的合力提供圆周运动的向心力．