Question

19．宇宙中两个相距较近的星球可以看成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕两球心连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动．根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）

• A． 双星做圆周运动的动能均减小
• B． 双星做圆周运动的半径均增大
• C． 双星相互间的万有引力变大
• D． 双星做圆周运动的周期均增大

Answer 1

分析 双星做匀速圆周运动具有相同的角速度，靠相互间的万有引力提供向心力，应用万有引力定律与牛顿第二定律求出双星的轨道半径关系，从而确定出双星的半径如何变化，以及得出双星的角速度和周期的变化．

解答 解：根据万有引力提供向心力，双星做匀速圆周运动具有相同的角速度和周期，$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，得${m}_{1}^{\;}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}$，且${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$，得${r}_{1}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$，${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$
A、根据万有引力提供向心力，$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{{v}_{1}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$，即${E}_{k1}^{\;}=\frac{1}{2}{m}_{1}^{\;}{v}_{1}^{2}=G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}{r}_{1}^{\;}}{2{L}_{\;}^{2}}$=$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{2}}{2L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}$，
同理$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{2}^{\;}\frac{{v}_{2}^{2}}{{r}_{2}^{\;}}$，即${E}_{k2}^{\;}=\frac{1}{2}{m}_{2}^{\;}{v}_{2}^{2}=G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}}{2{L}_{\;}^{2}}$=$G\frac{{m}_{1}^{2}{m}_{2}^{\;}}{2L（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}$，因为双星距离增大知双星做圆周运动的动能均减小，故A正确
B、根据万有引力提供向心力，$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，得${m}_{1}^{\;}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}{r}_{2}^{\;}$，且${r}_{1}^{\;}+{r}_{2}^{\;}=L$，得${r}_{1}^{\;}=\frac{{m}_{2}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$，${r}_{2}^{\;}=\frac{{m}_{1}^{\;}}{{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}}L$，由题意知双星间距离增加，双星做圆周运动的半径均增大，故B正确；
C、双星间的距离在缓慢增大，根据万有引力定律$F=G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{r}_{\;}^{2}}$，知万有引力减小，故C错误；
D、根据$G\frac{{m}_{1}^{\;}{m}_{2}^{\;}}{{L}_{\;}^{2}}={m}_{1}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{1}^{\;}={m}_{2}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}{r}_{2}^{\;}$，得${m}_{1}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{2}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$，${m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{r}_{1}^{\;}{L}_{\;}^{2}}{G{T}_{\;}^{2}}$，${m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}=\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G{T}_{\;}^{2}}$，得$T=\sqrt{\frac{4{π}_{\;}^{2}{L}_{\;}^{3}}{G（{m}_{1}^{\;}+{m}_{2}^{\;}）}}$，因为双星间距离增大，双星做圆周运动的周期均增大，故D正确；
故选：ABD

点评 解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，应用万有引力定律与牛顿第二定律即可正确解题，知道双星的轨道半径比等于质量之反比