Question

11．如图所示，平面直角坐标系xoy位于竖直平面内，M是一块与y轴夹角30°的挡板，与y轴的交点坐标为（0，$\sqrt{3}$L），下端无限接近x轴上的N点，粒子若打在挡板上会被挡板吸收．挡板左侧与x轴之间的区域Ⅰ内存在平行于挡板方向斜向下的匀强电场，电场强度大小为E．挡板右侧与x轴之间的区域Ⅱ内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为2B，x轴下方区域Ⅲ存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B．坐标原点o有两个质量均为m，电荷量分别为+q的粒子a和-q的粒子b，以及一个不带电的粒子c．空气阻力和粒子重力均不计，q＞0． 求：
（1）若粒子a从o点沿与x轴正方向成30°角射入区域Ⅰ，且恰好经过N点，求粒子a的初速度v₀；
（2）若粒子b从o点沿与x轴正方向成60°角射入区域Ⅲ，且恰好经过N点．求粒子b的速率v_b；
（3）若粒子b从o点以（2）问中速率沿与x轴正方向成60°角射入区域Ⅲ的同时，粒子c也从o点以速率v_c沿x轴正方向匀速运动，最终两粒子相遇，求v_c的可能值．

Answer 1

分析 （1）粒子α在电场中只受电场力，做类平抛运动，根据平抛运动基本公式列式求解即可求出初速度v₀；
（2）粒子b到达N点有两种路径，画出两种运动路径，由几何关系得出半径，再根据洛伦兹力提供向心力求解速度；
（3）设粒子b每次经过x轴时交点为N₁、N₂、N₃…，根据几何关系求出相邻两交点之间的距离，根据带电粒子在磁场中运动时间与周期的关系列式求解即可．

解答 解：（1）粒子α在电场中做类平抛运动，则有：
$\frac{\sqrt{3}}{2}L={v}_{0}t$①
$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}（\frac{qE}{m}）{t}^{2}$ ②
解得：v₀=$\sqrt{\frac{3qEL}{4m}}$
（2）粒子b到达N点有两种路径，
第一种：先在区域Ⅲ中圆周运动，然后到区域Ⅱ中圆周运动再到达N点，轨迹如图①
几何知识得ON=L=2r₂cos30°-2r₁cos30°③
且2r₂=r₁，$q{v}_{b}B=\frac{m{v}_{b}{\;}^{2}}{{r}_{1}}$④
解得${r}_{1}=\frac{2\sqrt{3}}{3}L$，${r}_{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}L$，v_b=$\frac{2\sqrt{3}qBL}{3m}$
第二种：在区域Ⅲ中圆周运动直接到达N点，轨迹如图②．由几何知识得ON=L=2r₁′cos30°⑤
且$q{v}_{b}′B=\frac{m{v}_{b}{′}^{2}}{{r}_{1}′}$⑥
解得${r}_{1}′=\frac{2\sqrt{3}}{3}L$，v_b′=$\frac{\sqrt{3}qBL}{3m}$
（3）设粒子b每次经过x轴时交点为N₁、N₂、N₃…，并且相邻两交点之间的距离为△x=2r₂cos30°=L⑥
粒子在区域Ⅲ中每段圆弧运动的时间${t}_{1}=\frac{1}{3}•\frac{2πm}{Bq}=\frac{2πm}{3Bq}$
粒子在区域Ⅱ中每段圆弧运动的时间${t}_{2}=\frac{2}{3}•\frac{2πm}{2Bq}=\frac{2πm}{3Bq}$
故可设t₁=t₂=t
若粒子b由第一种轨迹到达N₁点和粒子c相遇，则${v}_{c}=\frac{L}{t}=\frac{3qBL}{2πm}$，
若粒子b由第二种轨迹到达x轴且速度方向右下方时和粒子c相遇，则粒子c运动的位移大小为nL，${v}_{c}=\frac{nL}{2nt}=\frac{3qBL}{4πm}$
若粒子b由第二种轨迹到达x轴且速度方向右上方时和粒子c相遇，则粒子c运动的位移大小为nL，${v}_{c}=\frac{nL}{（2n-3）t}=\frac{3nqBL}{（4n-6）πm}$（n=2，3，4…）．
答：（1）若粒子a从o点沿与x轴正方向成30°角射入区域Ⅰ，且恰好经过N点，粒子a的初速度为$\sqrt{\frac{3qEL}{4m}}$；
（2）若粒子b从o点沿与x轴正方向成60°角射入区域Ⅲ，且恰好经过N点．粒子b的速率为$\frac{2\sqrt{3}qBL}{3m}$或$\frac{\sqrt{3}qBL}{3m}$；
（3）若粒子b从o点以（2）问中速率沿与x轴正方向成60°角射入区域Ⅲ的同时，粒子c也从o点以速率v_c沿x轴正方向匀速运动，最终两粒子相遇，则v_c的可能值为$\frac{3nqBL}{（4n-6）πm}$（n=2，3，4…）．

点评 带电粒子在组合场中的运动问题，首先要运用动力学方法分析清楚粒子的运动情况，再选择合适方法处理．对于匀变速曲线运动，常常运用运动的分解法，将其分解为两个直线的合成，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解；对于磁场中圆周运动，要正确画出轨迹，由几何知识求解半径．