Question

14．一倾角为30°的光滑斜面固定在水平地面上，在斜面的底端固定一带压力传感器的档板P，质量均为1千克的A，B两滑块，用劲度为k=100N/m的轻弹簧相连，静止在光滑斜面上，如图所示，现将另一质量也为1千克的滑块C，从斜面上某处静止释放，C滑下与B碰后粘合在一起，粘合体BC在斜面上运动的过程中，A滑块始终与P接触，压力传感器有时显示压力为0，g取1Om/s²，求：
（1）粘合体BC在斜面上运动的最大加速度；
（2）C刚释放时距B多远？

Answer 1

分析 （1）当BC整体运动到斜面上最高点时，A对P的压力为0，BC整体的加速度最大，利用牛顿第二定律求的加速度；
（2）按过程分析，并进行列式：C下滑做匀加速运动，根据动能定理求出C与B碰撞之前瞬间的速度．B、C碰撞过程时间极短，动量守恒，由动量守恒定律列式求出碰后两者共同速度．碰撞后整个系统机械能守恒，从碰撞结束到B至最高点运用机械能守恒定律列式，再联立即可求解．

解答 解：（1）当BC整体运动到斜面上最高点时，A对P的压力为0，BC整体的加速度最大，此时BC整体受力分析，由牛顿第二定律有：
2mgsin30°+F=2ma
此时A对P的压力为0，由平衡条件有：
F=mgsin30°
联立解得：a=$\frac{3}{2}gsin30°=\frac{3}{4}g$
（2）设C刚好下滑时距B的距离为x，即将与B碰撞时的速度为v₁，碰后速度大小为v₂，选沿斜面向下为正方向
$mgxsin30°=\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}$-0
mv₁+0=2mv₂
碰前弹簧压缩量为x₁，碰后BC整体运动到斜面上最高点时，弹簧伸长量为x₂有
碰前对B有mgsin30°=kx₁
碰后BC运动到最高点时对A由mgsin30°=kx₂
联立解得${x}_{1}={x}_{2}=\frac{mgsin30°}{k}=5×1{0}^{-2}m$
即刚好碰撞完毕时，弹簧的弹性势能与BC到达斜面上最高点时弹簧的弹性势能相同，由机械能守恒定律有
$\frac{1}{2}•2{mv}_{2}^{2}+{E}_{P弹}=2mg•2{s}_{1}sin30°+{E}_{P}$
解得x=0.4m
（1）粘合体BC在斜面上运动的最大加速度为$\frac{3}{4}g$；
（2）C刚释放时距B为0.4m

点评 本题采用程序法分析并列式，掌握胡克定律，运用平衡条件求解弹簧的形变量；根据形变量的关系，确定弹簧弹性势能的关系是解题关键．