Question

14．如图所示，竖直面内的轨道光滑绝缘，PQ水平，其中圆轨道的半径为R=5m，空间被竖直线MN分割成两部分．有一质量m=0.04kg，带电量为q=+2×10^-4C的小球，从斜轨上由静止释放，当A球刚要进入圆形轨道时，在MN右侧空间加一范围足够大的匀强电场，小球恰好在竖直平面内做逆时针方向匀速圆周运动．
（1）求匀强电场的大小和方向；
（2）若小球从斜面上距离水平轨道PQ高H=1.25m处由静止释放，刚要进入圆形轨道时，所加的匀强电场场强大小变为E=4×10³N/C，电场方向不变．判断A球能否沿着轨道做圆周运动，如果能说明原因；若不能，求出A球撞击轨道上的位置离水平轨道PQ的高度．

Answer 1

分析 （1）小球恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，由此求解电场强度的大小和方向．
（2）假设小球刚好能通过圆轨道的最高点，由重力和电场力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出最高点的临界速度，由动能定理求出小球从斜面下滑时的高度，再判断小球能否沿着轨道做圆周运动．

解答 解：（1）小球恰好在竖直平面内做匀速圆周运动，重力和电场力平衡，则
  mg=qE
可得 E=$\frac{mg}{q}$=$\frac{0.04×10}{2×1{0}^{-4}}$=2000N/C，方向竖直向上．
（2）当E=4×10³N/C，小球所受的电场力 F=qE=0.8N＞mg
设小球通过Q点的速度为v．根据机械能守恒得：mgH=$\frac{1}{2}$mv²，得 v=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×1.25}$=5m/s
设小球要能沿着轨道做圆周运动，Q点的最小速度为v₀，由牛顿第二定律得：
   qE-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
解得 v₀=5$\sqrt{2}$m/s
由于v＜v₀，则小球进入圆轨道后做类平抛运动，不能沿着轨道做圆周运动．
设A球撞击轨道上的位置离水平轨道PQ的高度为y，离Q点的水平位移为x．
则小球的加速度为 a=$\frac{qE-mg}{m}$=$\frac{0.8-0.4}{0.04}$=10m/s²．
由类平抛运动的规律得：
   x=vt
   y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
由几何知识可得：R²=（y-R）²+x²；
解得 t=1s，y=5m
答：
（1）匀强电场的大小是2000N/C，方向竖直向上．
（2）A球撞击轨道上的位置离水平轨道PQ的高度是5m．

点评 解决本题的关键要正确分析小球的受力情况，分析等效最高点“Q”的临界条件：电场力和重力的合力提供向心力，由动力学的基本方法处理．