Question

9．已知火星是类地行星，质量和半径都比地球小，火星的质量是地球质量的$\frac{1}{q}$倍，半径是地球半径的$\frac{1}{p}$倍．如果有一天地球上的人类能在火星和地球之间通过航天器往来，根据以上信息，请你判断下列说法正确的是（　　）

• A． 火星的同步卫星周期一定小于地球的同步卫星周期
• B． 某物体在该外星球表面上所受重力是它在地球表面上所受重力的$\frac{p}{q}$倍
• C． 火星上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{p}{q}}$倍
• D． 从地球上发射航天器到火星上去，发射速度应不小于16.7km/s

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出周期与轨道半径和中心天体质量的关系式，从而分析判断．根据万有引力等于重力得出物体在火星和地球上重力的大小关系．根据万有引力提供向心力得出第一宇宙速度的表达式，从而得出第一宇宙速度的关系．发射的速度一旦达到第二宇宙速度，会脱离地球的引力，绕太阳飞行．

解答 解：A、根据$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，周期T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{GM}}$，因为不知道火星和地球同步卫星轨道半径的关系，则无法比较同步卫星周期的大小关系，故A错误．
B、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=mg$知，火星的质量是地球质量的$\frac{1}{q}$倍，半径是地球半径的$\frac{1}{p}$倍．则物体在火星上的重力是地球上重力的$\frac{{p}^{2}}{q}$，故B错误．
C、根据$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$得，第一宇宙速度v=$\sqrt{\frac{GM}{R}}$，因为火星的质量是地球质量的$\frac{1}{q}$倍，半径是地球半径的$\frac{1}{p}$倍，则火星上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的$\sqrt{\frac{p}{q}}$倍，故C正确．
D、从地球上发射航天器到火星上去，发射速度应小于16.7km/s，故D错误．
故选：C．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．