Question

7．如图所示，有一半径为r，圆心角为90°的扇形匀强磁场区域，一束由质量和带电荷相同、但电性不同的离子组成的粒子流，以相同的速度从距O点$\frac{r}{3}$处的P点垂直于磁场的边界进入磁场，离开磁场时所有粒子的运动方向都与边界垂直．
求
（1）当离子的速度为v₀时．从边界ON、OM垂直射出的粒子的出射点距O点的距离分别是多少？
（2）若要使所有的粒子都能垂直于边界OM离开磁场，则粒子的入射速度与v₀的关系如何？（不计离子的重力）
（3）如果增大正离子的速度，则正离子能否从MN边界垂直射入？若能，则此时的速度是v₀的几倍．

Answer 1

分析 （1）离子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，从边界ON、OM垂直射出的粒子的轨迹分别为四分之一个圆周、半个圆周，结合几何关系列式求解即可；
（2）要使所有的粒子都能垂直于边界OM离开磁场，临界情况是PO为直径，结合牛顿第二定律列式求解即可；
（3）正离子向上偏转，正离子从MN边界垂直射入，画出轨迹，结合几何关系列式求解轨道半径，然后根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）当离子的速度为v₀时，轨道半径是固定的，画出轨迹，如图所示：

结合几何关系，有：
R=$\frac{r}{3}$
故从边界ON、OM垂直射出的粒子的出射点距O点的距离分别是$\frac{r}{3}$、$\frac{2}{3}r$；
（2）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，故：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：
R=$\frac{mv}{qB}$∝v     
即粒子的速度越大，轨道半径越大；
若要使所有的粒子都能垂直于边界OM离开磁场，则最大半径对应的轨迹如图：

故轨道半径为：R=$\frac{r}{6}$
联立解得：v=$\frac{{v}_{0}}{2}$
（3）增大正离子的速度，轨道半径增大，要从MN边界垂直射出，轨迹如图：

结合几何关系，有：
（R+$\frac{r}{3}$）²+r²=R²
解得：
R=$\frac{4}{3}r$
结合公式R=$\frac{mv}{qB}$∝v 可知，速度是v₀的4倍；
答：（1）当离子的速度为v₀时，从边界ON、OM垂直射出的粒子的出射点距O点的距离分别是$\frac{r}{3}$、$\frac{2}{3}r$；
（2）若要使所有的粒子都能垂直于边界OM离开磁场，则粒子的入射速度与v₀的关系为v=$\frac{{v}_{0}}{2}$；
（3）如果增大正离子的速度，则正离子能从MN边界垂直射入，此时的速度是v₀的4倍．

点评 本题考查了粒子在匀强磁场中的匀速圆周运动问题，关键是结合公式R=$\frac{mv}{qB}$∝v分析，画出临界轨迹，得到临界轨迹对应的轨道半径进行分析，不难．