Question

16．利用电场和磁场，可以将比荷不同的离子分开，这种方法在化学分析和原子核技术领域有重要的应用． 如图所示的矩形区域ABDG（AC边足够长）中存在垂直于纸面的匀强磁场，A处有一狭缝．离子源产生的离子，经电场加速后穿过狭缝沿垂直于GA且垂直于磁场的方向射入磁场，运动到GA边，被相应的收集器收集．整个装置内部为真空．已被加速的两种正离子的质量分别是m₁和m₂（m₁＞m₂），电荷量均为q．加速电场的电势差为U．离子进入电场时的初速度可以忽略．不计重力，也不考虑离子间的相互作用．
（1）求质量为m₁的离子进入磁场时的速度v₁；
（2）当磁感应强度的大小为B时，求两种离子在GA边落点的距离x；
（3）在前面的讨论中忽略了狭缝宽度的影响，实际装置中狭缝具有一定的宽度．若狭缝过宽，可能使两束离子在GA边上的落点区域交叠，导致两种离子无法完全分离．设磁感应强度大小可调，GA边长为一定值L，狭缝宽度为d，狭缝右边缘在A处，离子可以从狭缝各处射入磁场，入射方向仍垂直于GA边且垂直于磁场，为保证上诉两种离子能落在GA边上并被完全分离，求狭缝的最大宽度．

Answer 1

分析 带电粒子先进入电场再进入磁场，这是最基础的物理问题，利用动能定理和牛顿第二定律不难离开电场的速度和在磁场中运动的半径．
（1）利用动能定理，电场力做的功等于粒子动能的增量，很容易求出进入磁场的速度，这是本题的第一个铺垫．
（2）由洛仑兹力提供向心力（即牛顿第二定律）也很方便求出两种粒子落点的距离，这是本题的第二个铺垫．
（3）要使两种粒子的落点无重叠，则直径之差大于缝宽，结合质量较大的粒子的走私有一最大值L-d，代入不等式，就能求出缝宽的最大值．

解答 解：（1）加速电场对离子m₁做的功为：W=qU
由动能定理有：$\frac{1}{2}{m}_{1}{{v}_{1}}^{2}=qU$…①
得：${v}_{1}=\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$
   （2）由牛顿第二定律和洛仑兹力公式有：
$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$，
$R=\frac{mv}{qB}$．
 利用①式得离子在磁场中的轨道半径分别为：
${R}_{1}=\sqrt{\frac{2{m}_{1}U}{q{B}^{2}}}$，${R}_{2}=\sqrt{\frac{2{m}_{2}U}{q{B}^{2}}}$…②
两种离子在GA上落点的间距为：$x=2{R}_{1}-2{R}_{2}=\sqrt{\frac{8U}{q{B}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}）$…③
（3）质量为m₁的离子，在GA边上的落点都在其入射点左侧2R₁处，由于狭缝的宽度为d，因此落点区域的宽度也是d，同理，质量为m₂的离子在GA边上落点区域的宽度也是d．
为保证两种离子能完全分离，两个区域应无交叠，条件为：
2R₁-2R₂＞d…④
利用②式，代入④式得：$2{R}_{1}（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}）＞d}$          
R₁的最大值满足2R_m=L-d       
得：$（L-d）（1-\sqrt{\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}}）}＞d$
求得最大值为：${d}_{m}=\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$   
答：（1）求质量为m₁的离子进入磁场时的速度为$\sqrt{\frac{2qU}{{m}_{1}}}$．
（2）当磁感应强度的大小为B时，求两种离子在GA边落点的距离为$\sqrt{\frac{8U}{q{B}^{2}}}（\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}）$．
（3）若考虑缝宽，要使两种粒子的落点无重叠，则缝宽的最大值为$\frac{\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}{2\sqrt{{m}_{1}}-\sqrt{{m}_{2}}}L$

点评 本题的难点在于第三问，在解得前两问的基础上，才能画龙点睛．关键点在于等式和不等式的结合，不等式是直径之差大于缝宽，等式是质量较大的粒子有一最大半径L-d，联立两式可以缝宽最大值．