Question

16．如图所示，一轻弹簧与质量均为m的物块B、C相连接，物块C放在水平地面上，在物块B的正上方有一足够小的固定光滑定滑轮，定滑轮与光滑固定的竖直杆相距为d；用轻绳将物块B和质量为M、套在杆上的环A（可视为质点）相连，当环A与定滑轮处于同一水平线时，其连接环A和物块B之间的轻绳恰好无力作用．现将环A由静止释放（重力加速度为g，物块B在运动中始终未与定滑轮相碰，环A未落到地面，不计空气阻力）．求：
（1）在释放环A之前，物块C对水平地面的压力；
（2）当环A下滑高度为d时，物块C对水平地面的压力恰好为零，且物块B的速度恰好是运动过程中的最大速度，求此时环A的速度和加速度．

Answer 1

分析 （1）在释放环A之前，以B与C组成的系统为研究对象，根据共点力的平衡即可求出物块C受到的支持力，有牛顿第二定律求出C对水平地面的压力；
（2）当物块C对水平地面的压力恰好为零时，求出弹簧的拉力，分析弹簧的弹性势能的变化，结合机械能守恒求出B的速度；根据矢量的分解求出A的速度；物块B的速度恰好是运动过程中的最大速度说明B受到的合外力恰好为0，由此求出绳子的拉力；有牛顿第二定律求出A的加速度．

解答 解：（1）以B与C组成的系统为研究对象，根据共点力的平衡可知在竖直方向上：
F=mg+mg=2mg
根据牛顿第三定律可知，物块C对水平地面的压力也是2mg；
（2）开始时B处于平衡状态，所以弹簧对B的弹力的方向向上，大小：F₁=mg
当物块C对水平地面的压力恰好为零时，C受到重力和弹簧的拉力，合力为0，则二者大小相等，方向相反，所以弹簧的拉力：F₂=mg，
由于弹簧后来的拉力与开始时的弹力大小相等，所以弹簧的形变量大小相等，所以开始时弹簧的弹性势能与B的速度最大时弹簧的弹性势能是相等的．
由几何关系可知，A向下的过程中B升高的距离：$△x=\sqrt{{d}^{2}+{d}^{2}}-d=（\sqrt{2}-1）d$
B的速度最大时，设A的速度为v₁，B的速度为v₂，则B的速度大小等于A的速度沿绳子方向的分速度，如图：

由几何关系可知，绳子与竖直方向之间的夹角为45°，所以：v₂=v₁sin45°
该过程中的机械能守恒，则：$Mgd-mg△x=\frac{1}{2}M{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
联立得：v₁=$2\sqrt{\frac{（M+m-\sqrt{2}m）gd}{2M+m}}$
以B为研究对象，则：T=mg+F₂=2mg
以C为研究对象如图，则：

Tcos45°-Mg=Ma
所以：a=$\frac{\sqrt{2}mg-Mg}{M}$
答：（1）在释放环A之前，物块C对水平地面的压力是2mg；
（2）当环A下滑高度为d时，此时环A的速度是$2\sqrt{\frac{（M+m-\sqrt{2}m）gd}{2M+m}}$；加速度是$\frac{\sqrt{2}mg-Mg}{M}$．

点评 该题综合考查机械能守恒定律等的应用，用到的知识点比较多，在解答的过程中要注意B的速度最大时，弹簧的弹力与开始时弹簧的弹力是相等的，所以弹簧的弹性势能是相等的，在计算的过程中不需要考虑．