Question

15．如图所示，光滑水平面上有一质量M的平板车，车的上表面是一段粗糙水平轨道，水平轨道左侧连一半径R的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道与水平轨道在点O′处相切．现将一质量m的小物块（可视为质点）从平板车的右端以水平向左的初速度v₀滑上平板车，小物块恰能到达圆弧轨道的O′处．求：
（1）小物块到达圆弧轨道的O′处时平板车速度v的大小；
（2）在上述过程中，小物块与平板车组成的系统损失的机械能
（3）要使小物块能到达圆弧轨道的最高点A，小物块进入平板车的速度v'应多大？

Answer 1

分析 （1）平板车和小物块组成的系统动量守恒，小物块恰能到达圆弧轨道的O′处时两者的速度相同，由动量守恒定律求解；
（2）利用能量守恒定律可以求出系统损失的机械能．
（3）小物块恰好能到达圆弧轨道的最高点A时两者的速度相同，根据系统水平方向动量守恒和能量守恒列式，可求得小物块进入平板车的速度v'．

解答 解：（1）平板车和小物块组成的系统动量守恒，取水平向左为正方向，由动量守恒定律得
  mv₀=（M+m）v
得 v=$\frac{m}{M+m}$v₀．
（2）小物块与平板车组成的系统损失的机械能为
△E=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$（M+m）v²=$\frac{mM{v}_{0}^{2}}{2（M+m）}$
（3）平板车和小物块组成的系统在水平方向上动量守恒，设小物块到达圆弧轨道的最高点A时，它们的共同速度为v₁
根据动量守恒定律有 mv'=（M+m）v₁                          ①
根据能量守恒定律有 $\frac{1}{2}$mv'²-$\frac{1}{2}$（M+m）v₁²=mgR+△E            ②
联立解得 v′=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（m+M）gR}{M}}$
答：
（1）小物块到达圆弧轨道的O′处时平板车速度v的大小是$\frac{m}{M+m}$v₀；
（2）在上述过程中，小物块与平板车组成的系统损失的机械能为$\frac{mM{v}_{0}^{2}}{2（M+m）}$．
（3）要使小物块能到达圆弧轨道的最高点A，小物块进入平板车的速度v'应为$\sqrt{{v}_{0}^{2}+\frac{2（m+M）gR}{M}}$．

点评 本题是系统水平方向动量守恒和能量守恒的问题，要抓住两种情况机械能的损失是相同的，要注意第二种情形系统水平方向动量守恒，但总动量不守恒．