Question

15．如图所示一根L=0.4m不可伸长的轻绳，一端系一质量为0.05kg的小球，另一端固定于O点．拉起小球至绳恰好伸直并处于水平后，在A点以一竖直向下的初速度v₀=2$\sqrt{2}$m/s释放，当小球运动至O点正下方B点时，绳恰好断裂，小球继续运动并垂直打在同一竖直平面内与水平面成θ=30°的足够大的挡板MN上的C点，g取10m/s²．求：
（1）小球从A点到C点重力做的功及在C点重力的瞬时功率；
（2）若N点开始时处于B点的正下方，现将档板以N为轴向下转动至水平位置，求小球打在挡板上的点到N点的距离．（答案可用根号表示）

Answer 1

分析 （1）先根据动能定理求出小球经过B点时的速度．绳断裂后，小球做平抛运动，小球继续运动并垂直打挡板MN上时速度与挡板垂直，由速度的分解求出小球到C点时的速度，即可由动能定理求出重力做功，得到竖直分速度，即可求C点重力的瞬时功率；
（2）将档板以N为轴向下转动至水平位置，根据平抛运动的规律求水平距离．

解答 解：（1）从A到B，由动能定理得：mgL=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得 v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+2gL}$=$\sqrt{8+2×10×0.4}$=4m/s
设小球在C点的速度为v_C，竖直方向的分速度为v_y．
据题知，v_C与挡板MN垂直，即v_C与竖直方向的夹角为30°，则由速度的分解有
  v_C=$\frac{{v}_{B}}{sin30°}$=8m/s
  v_y=v_Ccos30°=4$\sqrt{3}$m/s
由动能定理得：
小球从A点到C点重力做的功 W_G=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=$\frac{1}{2}×$0.05×（64-8）J=1.4J
在C点时重力的瞬时功率 P=mgv_y=2$\sqrt{3}$W
（2）B、C两点间的高度差为 h=$\frac{{v}_{y}^{2}}{2g}$=2.4m
小球从B到C的时间 t=$\frac{{v}_{y}}{g}$=$\frac{2}{5}\sqrt{3}$s
BC间的水平距离 x=v_Bt=$\frac{8}{5}\sqrt{3}$m
则BN间的高度 H=h+xtan30°=2.4+$\frac{8}{5}\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=4m
将档板以N为轴向下转动至水平位置，小球从B到落到板上的时间 t′=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×4}{10}}$s=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$s
故小球打在挡板上的点到N点的距离 S=v_Bt′=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$m
答：
（1）小球从A点到C点重力做的功是1.4J，在C点时重力的瞬时功率是2$\sqrt{3}$W．
（2）小球打在挡板上的点到N点的距离是$\frac{8\sqrt{5}}{5}$m．

点评 本题要能熟练运用速度的分解法研究平抛运动，知道动能定理是求功常用的方法，要注意求重力的瞬时功率时，P=mgv_y中v_y是竖直分速度，不是物体的合速度．