Question

8．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧某一位置有一竖直放置的光滑圆弧轨道MNP，且形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角的135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．如用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后物块过B点后其位移与时间关系为x=6t-2t²（物块飞离后由P点沿切线滑入光滑圆轨道，不计空气阻力，g=10m/s²，求：

（1）物块运动到P点速度的大小和方向．
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点．
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）根据物体做平抛运动，根据运动的分解，由运动学公式，即可求解；
（2）根据动能定理与牛顿第二定律，即可求解；
（3）根据能量守恒定律，结合摩擦力做功，即可求解．

解答 解：（1）设物块由D点以初速度v_D做平抛运动，落到P点时其竖直速度为：
v_y²=2gR   
得：v_D=v_y=4 m/s
所以到P的速度为：v_P=4$\sqrt{2}$m/s
方向与水平方向夹角为45°．
（2）若物块能沿轨道到达M点，其速度为v_M，根据动能定理，则有：
$\frac{1}{2}$m₂v²_M=$\frac{1}{2}$m₂v²_D-$\frac{\sqrt{2}}{2}$m₂gR   
轨道对物块的压M点．力为F_N，则有：
F_N+m₂g=m₂$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
解得：F_N=（1-$\sqrt{2}$）m₂g＜0
即物块不能到达M点．
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_p，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，释放m₁时，有：E_p=μm₁gs_CB
释放m₂时，有：E_p=μm₂gs_CB+$\frac{1}{2}$m₂v²₀
代入数据解得：E_p=2.4J
m₂在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，则有：
E_p-W_f=$\frac{1}{2}$m₂v²_D 
代入数据可得：W_f=1.6J．
答：（1）物块运动到P点速度的大小4$\sqrt{2}$m/s，方向与水平方向夹角为45°．
（2）m₂不能沿圆轨道到达M点．
（3）释放后m₂运动过程中克服摩擦力做的功1.6 J．

点评 该题涉及到多个运动过程，既要分析各个过程的规律，同时要把握每个过程之间的联系，运用机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式等知识解答．