Question

16．一轻绳一端固定在0点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度地释放，如图所示，小球在运动至轻绳达到竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？

Answer 1

分析 根据动能定理求出小球的速度，结合瞬时功率的公式求出小球重力功率的表达式，结合数学三角函数求出最大值时对应的角度．

解答 解：当细线与水平方向的夹角为θ时，根据动能定理得，mgLsinθ=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gLsinθ}$，
则重力的瞬时功率P=mgvcosθ=$mg\sqrt{2gLsinθ}•cosθ$，
因为sinθcos²θ=sinθ（1-sin²θ），令sinθ=x，则有y=x（1-x²）=x-x³，
对y求导，y′=1-3x²，
令1-3x²=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可知sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$时，P有最大值，即$θ=arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$．
答：当细线与水平方向的夹角为$arcsin\frac{\sqrt{3}}{3}$时，小球所受重力的瞬时功率有最大值．

点评 本题考查了瞬时功率和动能定理的基本运用，通过动能定理和功率的公式求出瞬时功率的表达式是关键，本题对数学能力的要求较高，需加强这方面的训练．