如图.半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧曲面固定在水平地面上.圆弧底端P处的切线水平．与圆弧底端等高的.足够长的木板A左端紧靠圆弧放在水平地面上．可视为质点的滑块B静止放在距A左端为R的木板上,与B完全相同的C由圆弧顶端无初速度释放.沿圆弧滑下通过P后.冲上A并能与B相碰.B.C碰后粘在一起不再分开并一起向右运动.其运动速度大小为C与B碰前的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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18．如图，半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧曲面固定在水平地面上，圆弧底端P处的切线水平．与圆弧底端等高的、足够长的木板A左端紧靠圆弧放在水平地面上．可视为质点的滑块B静止放在距A左端为R的木板上；与B完全相同的C由圆弧顶端无初速度释放，沿圆弧滑下通过P后，冲上A并能与B相碰，B、C碰后粘在一起不再分开并一起向右运动，其运动速度大小为C与B碰前的一半．
已知：A、B、C的质量均为m；重力加速度为g；C通过P时对轨道的压力大小为2.5mg；B、C与A的动摩擦因数μ₁=$\frac{1}{4}$，A与地面的动摩擦因数μ₂=$\frac{1}{8}$．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．求：
（1）C从圆弧顶端滑到P的过程中，摩擦力做的功．
（2）为使B、C不从A右端掉下来，A的长度至少要多长．
（3）A停下后，左端与P的水平距离

分析（1）根据向心力公式求出C到达P点时的速度，再由动能定理求出C从圆弧顶端滑到P的过程中，摩擦力做的功
（2）C与B相碰前A静止，C在A上做匀减速直线运动，BC碰撞后成一个整体，碰撞过程遵循动量守恒，BC做匀加速运动，A做匀减速运动，直到速度相等，求出相对运动的位移，木板的长度等于BC相对运动的位移和初始时B距木板左端的距离；
（3）C与B碰撞到ABC速度相等，根据动能定理求出A的位移${s}_{A1}^{\;}$，当共速直到停止的过程，根据动能定理求出A的位移${s}_{A2}^{\;}$，即可求出左端到P的水平距离；

解答解：（1）以C为研究对象，设C到达P时速度为v、支持力为N，
由牛顿第二定律：$N-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$①
动能定理：$mgR-{W}_{f}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$②
依题意：N=2.5mg③
解得：${W}_{f}^{\;}=\frac{1}{4}mgR$④
（2）C冲上A后，
C受到的摩擦力大小为：${f}_{C}^{\;}={μ}_{1}^{\;}mg=\frac{1}{4}mg$⑤
A受地面的摩擦力大小为：${f}_{A}^{\;}={μ}_{2}^{\;}•3mg=\frac{3}{8}mg$⑥
由于${f}_{A}^{\;}＞{f}_{C}^{\;}$，所以A没有滑动，C在A上做减速运动，设与B相碰前的速度为v_C，
动能定理：$-{μ}_{1}^{\;}mgR=\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$⑦
${v}_{C}^{\;}=\sqrt{Rg}$⑧
B、C碰撞动量守恒$m{v}_{C}^{\;}=2m{v}_{BC}^{\;}$
B、C碰后的速度为：${v}_{BC}^{\;}=\frac{1}{2}\sqrt{Rg}$⑨
碰后B、C这个整体受到的摩擦力大小为：${f}_{BC}^{\;}={μ}_{1}^{\;}•2mg=\frac{1}{2}mg$⑩
由于${f}_{BC}^{\;}＞{f}_{A}^{\;}$，所以A开始沿地面运动．A做初速度为零的匀加速直线运动，BC做匀减速直线运动．设共同速度为${v}_{ABC}^{\;}$，由牛顿运动定律知：
对BC：$-{f}_{BC}^{\;}=2m{a}_{BC}^{\;}$⑪
对A：${f}_{BC}^{\;}-{f}_{A}^{\;}=m{a}_{A}^{\;}$⑫
又有加速度定义：${a}_{BC}^{\;}=\frac{{v}_{ABC}^{\;}-{v}_{BC}^{\;}}{t}$ ${a}_{A}^{\;}=\frac{{v}_{ABC}^{\;}}{t}$⑬
可解得：${v}_{ABC}^{\;}=\frac{1}{3}{v}_{BC}^{\;}=\frac{1}{6}\sqrt{Rg}$⑭
设A从运动到共速对地的位移为s_A1，BC在这段时间的对地位移为s_BC，由动能定理：
对BC：$-{f}_{BC}^{\;}{s}_{BC}^{\;}=\frac{1}{2}•2m{v}_{ABC}^{2}-\frac{1}{2}•2m{v}_{BC}^{2}$⑮
对A；$（{f}_{BC}^{\;}-{f}_{A}^{\;}）{s}_{A1}^{\;}=\frac{1}{2}m{v}_{ABC}^{2}$⑯
解得：${s}_{A1}^{\;}=\frac{1}{9}R$； ${s}_{BC}^{\;}=\frac{4}{9}R$⑰
即BC在A上运动的距离为：$△L={s}_{BC}^{\;}-{s}_{A1}^{\;}=\frac{1}{3}R$⑱
BC最后与A左端的距离为：$L=R+△L=\frac{4}{3}R$⑲
（3）A、B、C共速后，成为一个整体，仅在A与地面的摩擦力做匀减速运动．设运动s_A2停下来，
由动能定理：$-f{s}_{A2}^{\;}=0-\frac{1}{2}•3m{v}_{ABC}^{2}$⑳
解得：${s}_{A2}^{\;}=\frac{1}{9}R$?
A停下后，左端与P的水平距离为：${L}_{AP}^{\;}={s}_{A1}^{\;}+{s}_{A2}^{\;}=\frac{2}{9}R$?
答：（1）C从圆弧顶端滑到P的过程中，摩擦力做的功$\frac{1}{4}mgR$．
（2）为使B、C不从A右端掉下来，A的长度至少要$\frac{4}{3}R$
（3）A停下后，左端与P的水平距离$\frac{1}{9}R$

点评解决本题的关键要理清物块的受力情况和运动情况，把握每个过程的物理规律，当物体间有相对运动时，要注意分析速度相等的状态．

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