Question

6．如图所示，两质量均为m的小球1、2（可视为质点）用一轻质杆相连并置于图示位置，质量也为m的小球3置于水平面OB上，半圆光滑轨道与水平面相切于B点，由于扰动，小球1、2分别沿AO、OB开始运动，当小球1下落h=0.2m时，杆与竖直光滑墙壁夹角θ=37°，此时小球2刚好与小球3相碰，碰后小球3获得的速度大小是碰前小球2速度的$\frac{5}{4}$，并且小球3恰好能通过半圆轨道的最高点C，sin37°=0.6，取g=10m/s²，则（　　）

• A． 小球1在下落过程中机械能守恒
• B． 小球2与小球3相碰时，小球1的速度大小为1.6m/s
• C． 小球2与小球3相碰前，小球1的平均速度大于小球2的平均速度
• D． 半圆轨道半径大小为R=0.08m

Answer 1

分析 根据机械能守恒定律，结合圆周运动的特性，及几何关系，分析小球1与2的机械能的变化即可求解；
结合题目的关系求出小球2的速度，再将速度分解与合成，求出小球1的速度；
根据平均速度的定义分别求出小球1与2的平均速度，然后比较即可；
小球3恰好能通过半圆轨道的最高点C，此时的重力提供向心力，由此求出小球3的速度，再由机械能守恒求出小球3在B点的速度表达式，联立即可求出半径R．

解答 解：A、小球1与2连在一起，小球1向下运动的过程中小球2将向右运动，小球1的重力势能减小，小球2的重力势能不变，两个球的动能都增大．由于对1和2球只有重力做功，两个球组成的系统的机械能守恒，但1的机械能不守恒．故A错误；
B、小球1下落h=0.2m时，杆与竖直墙壁夹角θ=37°，将两个小球的速度分解如图：

设当小球1下落h=0.2m时小球1的速度是v₁，小球2的速度是v₂，由图中几何关系，则：v₁cos37°=v₂sin37°
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$=mgh
联立得：v₁=1.2m/s，v₂=1.6m/s．故B错误；
C、设杆的长度为L，由几何关系可得：L-Lcos37°=h
代入数据得：L=1.0m
所以小球2到O点的距离：x₂=Lsin37°=1.0×0.6=0.6m
由于两个小球运动的时间相等，而小球2的位移大小大于小球1的位移的大小，所以小球2与小球3相碰前，小球1的平均速度小于小球2的平均速度．故C错误；
D、碰后小球3获得的速度大小是碰前小球2速度的$\frac{5}{4}$，所以碰撞后小球3的速度：
${v}_{3}=\frac{5}{4}×1.6=2$m/s
小球3恰好能通过半圆轨道的最高点C，此时的重力提供向心力，所以：
$mg=\frac{m{v}_{c}^{2}}{R}$
小球3从B到C的过程中机械能守恒，则：
$\frac{1}{2}m{v}_{3}^{2}=mg•2R+\frac{1}{2}m{v}_{c}^{2}$
联立以上方程得：R=0.08m．故D正确．
故选：D

点评 该题考查速度的合成与分解、机械能守恒定律与牛顿第二定律的应用，注意机械能守恒的判定，掌握几何关系的运用，正确找出小球1与2的速度关系是解答的关键．