本资料来源于http://www.7caiedu.cn专题八●中考点击考点分析:内容要求1.特殊角的三角函数值Ⅰ2.利用计算器求锐角的三角函数值.并能根据已知的三角函数值求对应的锐角Ⅱ3.综合运用三角——青夏教育精英家教网—

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专题八《锐角三角函数与解直角三角形》

●中考点击

考点分析：

内容

要求

1、特殊角的三角函数值

Ⅰ

2、利用计算器求锐角的三角函数值，并能根据已知的三角函数值求对应的锐角

Ⅱ

3、综合运用三角函数解决与直角三角形有关的简单实际问题

Ⅱ

命题预测：本专题内容主要涉及两方面，一是锐角三角函数问题的基本运算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的应用题是中考重点考查的内容，题型广泛，有测建筑物高度的，有与航海有关的问题，有与筑路、修堤有关的问题．要注意把具体问题转化为数学模型，在计算时不能直接算出某些量时，要通过列方程的办法加以解决．

预测2007年中考的考查热点，主要要求能够正确地应用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形两边的比，并且要熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值．理解直角三角形中的边、角之间的关系，会用勾股定理及锐角三角函数解直角三角形，并会用相关的知识解决一些简单的实际问题，尤其是在计算距离、高度和角度等方面．

●难点透视

例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正确的是

　　　A、　　　B、　　　C、　　　D、

【考点要求】本题考查锐角三角函数的概念。

【思路点拨】根据题目所给条件，可画出直角三角形，结合图形容易判断是∠B的正切值。

【答案】选C。

【方法点拨】部分学生会直接凭想象判断并选择结果，从而容易导致错误。突破方法：这类题目本身难度不大，但却容易出现错误，关键是要画出图形，结合图形进行判断更具直观性，可减少错误的发生。

例2某山路坡面坡度,某人沿此山路向上前进200米,那么他在原来基础上升高了__________米．

【考点要求】本是考查坡度与坡角正切值关系。

【思路点拨】坡度即坡角的正切值为，所以坡角的正弦值可求得等于，所以沿着山路前进200米，则升高200×=10（米）。

【答案】填10。

【方法点拨】少数学生因为未能正确理解坡度的意义，而出现使用错误。突破方法：牢记坡度表示坡角的正切值即坡角的对边：坡角的邻边=，然后再结合直角三角形，可求出坡角的正弦值，从而容易求得结果。

6ec8aac122bd4f6e 例3如图8-1，在△ABC中，∠C＝90°，点D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=．求：（1）DC的长；（2）sinB的值．

【考点要求】本题考查锐三角函数概念的相关知识及其简单运用。

【思路点拨】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝，设CD＝3k，∴AD＝5k

又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6

（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝＝4k＝8

∴AB＝

∴sinB=

【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=。

【方法点拨】本题的关键是抓住“AD＝BC”这一相等的关系，应用锐角三角函数的定义及勾股定理解题．

6ec8aac122bd4f6e 例4如图所示，秋千链子的长度为3m，静止时的秋千踏板（大小忽略不计）距地面0.5m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为，则秋千踏板与地面的最大距离约为多少？(参考数据：≈0.8,≈0.6)

【考点要求】本题考查利用锐角三角函数知识和解直角三角形解决实际生活中的直角三角形问题．

【思路点拨】设秋千链子的上端固定于A处，秋千踏板摆动到最高位置时踏板位于B处．过点A，

B的铅垂线分别为AD，BE，点D，E在地面上，过B作BC⊥AD于点C．

在Rt中，∵，，

∴ AC=≈=1.8（m）．

6ec8aac122bd4f6e ∴ ≈（m）．　

∴ ≈（m）．

【答案】秋千摆动时踏板与地面的最大距离约为m．

【方法点拨】部分学生想直接求出踏板离地最高的距离即BE，但却缺少条件。突破方法：通过作辅助线，将BE转化到CD位置上，根据题目所给条件容易求出AC，从而可求得CD的长。

解题关键：利用解直角三角形求解实际问题的关键在于构造适当的直角三角形。

6ec8aac122bd4f6e 例5如图8-5，一条渔船某时刻在位置A观测灯塔B、C(灯塔B距离A处较近)，两个灯塔恰好在北偏东65°45′的方向上，渔船向正东方向航行l小时45分钟之后到达D点，观测到灯塔B恰好在正北方向上，已知两个灯塔之间的距离是12海里，渔船的速度是16海里／时，又知在灯塔C周围18.6海里内有暗礁，问这条渔船按原来的方向继续航行，有没有触礁的危险?

【考点要求】本题考查解直角三角形在航海问题中的运用，解决这类问题的关键在于构造相关的直角三角形帮助解题．

【思路点拨】在Rt△ABD中，（海里），

∠BAD=90°-65°45′=24°15′.

∵cos24°15′=，　∴(海里).

AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).

在Rt△ACE中，sin24°15′=，

∴CE=AC?sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).

∵17.54＜18.6，∴有触礁危险。

【答案】有触礁危险，不能继续航行。

【方法点拨】本题有两个难点，一是要能将实际问题抽象为数学问题，二是构造合适的直角形。突破方法：有无触礁危险，关键看离灯塔C最近的距离与18.6的大小关系，如果最近的距离大于18.6，则不会有触礁危险。

解题关键：离灯塔最近的距离是从灯塔向航线作垂线段。

例6某数学兴趣小组，利用树影测量树高．已测出树AB的影长AC为9米，并测出此时太阳光线与地面成30°夹角．

（1）求出树高AB；

（2）因水土流失，此时树AB沿太阳光线方向倒下，在倾倒过程中，树影长度发生了变化，假设太阳光线与地面夹角保持不变，试求树影的最大长度．

（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414， ≈1.732）

【考点要求】本题考查解直角三角形在测量中的实际运用．

【思路点拨】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°

∵tanC＝ ∴AB＝AC?tanC＝9×≈5.2（米）

（2）以点A为圆心，以AB为半径作圆弧，当太阳光线与圆弧相切时树影最长，点D为切点，DE⊥AD交AC于E点，（如图2）

在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，

∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）

【答案】树高AB约为5.2米，树影有最长值，最长值约为10.4米。

【方法点拨】部分学生第（1）问没有太大困难，第（2）问中树在倾倒过程中，确定何处树影最长比较困难。突破方法：以A为圆心，AB为半径作圆弧，其中与圆弧相切的太阳光线所照射得到的树影最长。

解题关键：如何用直观的方式将树倾倒过程体现出来，这是解决该题的关键所在。

6ec8aac122bd4f6e 例7初三（5）班综合实践小组去湖滨花园测量人工湖的长，如图1A、D是人工湖边的两座雕塑，AB、BC是湖滨花园的小路，小东同学进行如下测量，B点在A点北偏东60^o方向，C点在B点北偏东45^o方向，C点在D点正东方向，且测得AB=20米，BC=40米，求AD的长．（，结果精确到0.01米）