如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的答案解析

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为AB的中点．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDD₁
（Ⅱ）求异面直线BD₁与AD所成角的余弦值．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，在棱AA₁是上否存在一点E，使得直线AB和平面B D₁E的夹角是30⁰？若存在，求出点E的位置，若不存在，请说明理由．

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6、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，那么
（1）哪些棱所在直线与直线BA₁成异面直线？

D₁C₁、D₁D、C₁C、C₁B₁、DC、AD

（2）直线BA₁与CC₁所成角的大小为

45°

（3）直线BA₁与B₁C所成角的大小为

60°

．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为3，点E在AA₁上，点F在CC₁上，且AE=FC₁=1，
（1）求证：E、B、F、D₁四点共面；
（2）若点G在BC上，BG=

2

3

，点M在BB₁上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥平面BCC₁B₁．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E，F，且EF=

2

2

，则下列结论中错误的个数是（　　） 
（1）AC⊥BE．
（2）若P为AA₁上的一点，则P到平面BEF的距离为

2

2

．
（3）三棱锥A-BEF的体积为定值．
（4）在空间与DD₁，AC，B₁C₁都相交的直线有无数条．
（5）过CC₁的中点与直线AC₁所成角为40°并且与平面BEF所成角为50°的直线有2条．

A．0

B．1

C．2

D．3

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15、如图是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的一种平面展开图，在这个正方体中，E、F、M、N均为所在棱的中点
①NE∥平面ABCD；
②FN∥DE；
③CN与AM是异面直线；
④FM与BD₁垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是

①④

．

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8、如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点E、F在棱A₁B₁上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A₁E=y（x，y大于零），则三棱锥P-EFQ的体积（　　）

A、与x，y都有关

B、与x，y都无关

C、与x有关，与y无关

D、与y有关，与x无关

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1．
（1）求证：平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁D₁D；
（2）求三棱锥B₁-A₁C₁B的体积；
（3）求异面直线BC₁与AA₁所成角的大小．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，点P是平面ABCD上的动点，点M在棱AB上，且AM=

1

3

，且动点P到直线A₁D₁的距离与点P到点M的距离的平方差为4，则动点P的轨迹是（　　）

A、圆

B、抛物线

C、双曲线

D、直线

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（2011•浦东新区三模）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为6，动点E、F在棱A₁B₁上，动点P、Q分别在棱AD、CD上，若EF=2，DQ=x，AP=y，则四面体PEFQ的体积（　　）

A．与x，y都无关

B．与x有关，与y无关

C．与x、y都有关

D．与x无关，与y有关

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为a，连接AC₁交平面A₁BD于H，则下列命题中，错误的命题是（　　）

A．AH与DD1所成的角为arctan 2

B．AC1⊥平面A1BD

C．OH= 3 3 a

D．H是△A1BD的垂心

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（2012•山东）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E为线段B₁C上的一点，则三棱锥A-DED₁的体积为

1

6

1

6

．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，线段B₁D₁上有两个动点E、F，且EF=

1

2

，则下列结论中错误的是（　　）

A、AC⊥BE

B、EF∥平面ABCD

C、三棱锥A-BEF的体积为定值

D、△AEF的面积与△BEF的面积相等

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，点M在AB上，且AM=

1

3

，点P在平面ABCD上，且动点P到直线A₁D₁的距离的平方与P到点M的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xoy中，动点P的轨迹方程是

 

．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，动点E、F在棱A₁B₁上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A₁E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（　　）

A、与x，y，z都有关

B、与x有关，与y，z无关

C、与y有关，与x，z无关

D、与z有关，与x，y无关

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（2012•山东）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E，F分别为线段AA₁，B₁C上的点，则三棱锥D₁-EDF的体积为

1

6

1

6

．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E为棱CC₁的中点．
（1）求AD₁与DB所成角的大小；
（2）求证DB⊥平面AEA₁．

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，E，F分别为棱BC，DD₁上的点，给出下列命题：
①在平面ABF内总存在与直线B₁E平行的直线；
②若B₁E⊥平面ABF，则CE与DF的长度之和为2；
③存在点F使二面角B₁-AC-F的大小为45°；
④记A₁A与平面ABF所成的角为α，BC与平面ABF所成的角为β，则α+β的大小与点F的位置无关．
其中真命题的序号是

②④

②④

． （写出所有真命题的序号）

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如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为4，动点P在棱A₁B₁上，
（Ⅰ）求证：PD⊥AD₁；
（Ⅱ）当A₁P=

1

2

A₁B₁时，求CP与平面D₁DCC₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）当A₁P=

3

4

A₁B₁时，求点C到平面D₁DP的距离．

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（2013•安徽）如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是

①②③⑤

①②③⑤

（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ＜

1

2

时，S为四边形
②当CQ=

1

2

时，S为等腰梯形
③当CQ=

3

4

时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=

1

3

④当

3

4

＜CQ＜1时，S为六边形
⑤当CQ=1时，S的面积为

6

2

．