2013青岛一模答案及详细解析过程——青夏教育精英家教网—

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（2013•青岛一模）下列说法中正确的是

③

（把所有正确说法的序号都填上）．
①“若am²＜bm²，则a＜b”的逆命题为真；
②线性回归方程

y

=

b

x+

a

对应的直线一定经过其样本数据点（x₁，y₁），（x₂，y₂），…，（x_n，y_n）中的一个点；
③命题“∃x∈R，x²+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，x²+x+1≥0”；
④命题“函数f（x）在x=x₀处有极值，则f′（x）=0”的否命题是真命题．

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（2013•青岛一模）若

e1

，

e2

是夹角为

π

3

的单位向量，且

a

=-2

e1

-

e2

，

b

=3

e1

-2

e2

，则

a

•

b

=（　　）

A．1

B．-4

C．-

7

2

D．

7

2

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（2013•青岛一模）已知点A（2，0），B（0，-2），F（-2，0），设∠AOC=α，α∈[0，2π），其中O为坐标原点．
（Ⅰ）设点C到线段AF所在直线的距离为

3

，且∠AFC=

π

3

，求α和线段AC的大小；
（Ⅱ）设点D为线段OA的中点，若|

OC

|=2，且点C在第二象限内，求M=（

3

DC

•

OB

+

BC

•

OA

）cosα的取值范围．

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（2013•青岛一模）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b-a．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x-[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]{x}，g（x）=x-1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间的长度，则当0≤x≤3时，有（　　）

A．d=1

B．d=2

C．d=3

D．d=4

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（2013•青岛一模）给出以下命题：
①双曲线

y2

2

-x2=1的渐近线方程为y=±

2

x；
②命题p：“∀x∈R⁺，sinx+

1

sinx

≥2”是真命题；
③已知线性回归方程为

̂

y

=3+2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；
④设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ＞1）=0.2，则P（-1＜ξ＜0）=0.6；
⑤已知

2

2-4

+

6

6-4

=2，

5

5-4

+

3

3-4

=2，

7

7-4

+

1

1-4

=2，

10

10-4

+

-2

-2-4

=2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为

n

n-4

+

8-n

(8-n)-4

=2，（n≠4）
则正确命题的序号为

①③⑤

（写出所有正确命题的序号）．

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（2013•青岛一模）若两个非零向量

a

，

b

满足|

a

+

b

|+|

a

-

b

|=2|

a

|，则向量

a

+

b

与

b

-

a

的夹角为（　　）

A．

π

6

B．

π

3

C．

2π

3

D．

5π

6

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（2013•青岛一模）设函数f（x）=lnx，g（x）=ax+

b

x

，函数f（x）的图象与x轴的交点也在函数g（x）的图象上，且在此点有公切线．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）试比较f（x）与g（x）的大小．

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（2013•青岛一模）设全集U=R，集合M={x|x＞1或x＜-1}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁_UM）=（　　）

A．{x|-2≤x＜1}

B．{x|0＜x≤1}

C．{x|-1≤x≤1}

D．{x|x＜1}

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（2013•青岛一模）定义某种运算S=a⊗b，运算原理如框图所示，则式子(2tan

π

4

)⊗lne+lg100⊗(

1

3

)-1的值为

13

．

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（2013•青岛一模）某程序框图如图所示，若a=3，则该程序运行后，输出的x值为

31

．

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（2013•青岛一模）已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于（　　）

A．

2π

3

B．

5π

6

C．

3π

4

D．

5π

6

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（2013•青岛一模）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，满足

sinB+sinC

sinA

=

2-cosB-cosC

cosA

，函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

2π

3

]上单调递减．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若f(

π

9

)=cosA，证明：△ABC为等边三角形．

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（2013•青岛一模）若(x2-

1

x

)n(n∈N+)的展开式中，常数项为15，则n的值可以为（　　）

A．3

B．4

C．5

D．6

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（2013•青岛一模）已知函数f(x)=

x，x≤0

x2-x，x＞0

，若函数g（x）=f（x）-m有三个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　）

A．[-

1

2

，1]

B．[-

1

2

，1)

C．(-

1

4

，0)

D．(-

1

4

，0]

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（2013•青岛一模）一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图与左视图均为半径是2的圆，则这个几何体的表面积是（　　）

A．16π

B．14π

C．12π

D．8π

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（2013•青岛一模）已知函数f（x）=sinωx（ω＞0）在区间[0，

π

3

]上单调递增，在区间[

π

3

，

2π

3

]上单调递减；如图，四边形OACB中，a，b，c为△ABC的内角A，B，C的对边，且满足

sinB+sinC

sinA

=

4ω

3

-cosB-cosC

cosA

．
（Ⅰ）证明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，设∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四边形OACB面积的最大值．

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（2013•青岛一模）现有长分别为1m、2m、3m的钢管各3根（每根钢管质地均匀、粗细相同且附有不同的编号），从中随机抽取n根（假设各钢管被抽取的可能性是均等的，1≤n≤9），再将抽取的钢管相接焊成笔直的一根．
（Ⅰ）当n=3时，记事件A={抽取的3根钢管中恰有2根长度相等}，求P（A）；
（Ⅱ）当n=2时，若用ξ表示新焊成的钢管的长度（焊接误差不计），
①求ξ的分布列；
②令η=-λ²ξ+λ+1，E（η）＞1，求实数λ的取值范围．

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（2013•青岛一模）设全集U=R，集合M={x|y=lg（x²-1）}，N={x|0＜x＜2}，则N∩（∁_UM）=（　　）

A．{x|-2≤x＜1}

B．{x|0＜x≤1}

C．{x|-1≤x≤1}

D．{x|x＜1}

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（2013•青岛一模）在等差数列{a_n} 中，a₂=4，a₄=12，则数列{a_n} 的前10项的和为

180

．

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（2013•青岛一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦距为2

3

，离心率为

2

，其右焦点为F，过点B（0，b）作直线交椭圆于另一点A．
（Ⅰ）若

AB

•

BF

=-6，求△ABF外接圆的方程；
（Ⅱ）若直线y=k（x-2）与椭圆N：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

3

相交于两点G、H，且|

HG

|＜

2

5

3

，求k的取值范围．

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