如图13.抛物线y+αX2+bX+c与X轴交于A.与Y轴交于点C(0,2).答案解析

科目：czsx 来源： 题型：解答题

13．如图，抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线的对称轴以及顶点坐标．

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13．如图，抛物线y=-x²+bx+c与直线y=$\frac{1}{2}$x+2交于C，D两点，其中点 C在y轴上，点D的坐标为（3，$\frac{7}{2}$）．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P在直线BC上部的抛物线上运动，是否存在这样的点P，使得△PBC的面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．

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13．如图，已知c＞0，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）两点（x₂＞x₁），与y轴交于点C．
（1）若x₂=1，BC=$\sqrt{5}$，求函数y=x²+bx+c的最小值；
（2）若$\frac{OC}{OA}$=2，求抛物线y=-x²+bx+c顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围．

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6．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（-4，0）、B（2，0），与y轴交于点C点D在函数图象上．
（1）求该抛物线的函数关系式；
（2）设点D的横坐标为m（-4＜m＜0），四边形ADCB的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出S的取值范围；
（3）当（2）中的S=13时，求点D的横坐标；
（4）若点E是线段BC的中点，点P是抛物线对称轴上的一点，设点P的纵坐标为t，请直接写出当△PEB为钝角三角形时t的取值范围．

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13．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）抛物线上是否存在一点P，试的△BCD面积与△PBC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

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13．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c的顶点M的坐标为（-1，-4），且与x轴交于点A，点B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．
（1）填空：b=2，c=-3，直线AC的解析式为y=-x-3；
（2）直线x=t与x轴相交于点H．
①当t=-3时得到直线AN（如图1），点D为直线AC下方抛物线上一点，若∠COD=∠MAN，求出此时点D的坐标；
②当-3＜t＜-1时（如图2），直线x=t与线段AC，AM和抛物线分别相交于点E，F，P．试证明线段HE，EF，FP总能组成等腰三角形；如果此等腰三角形底角的余弦值为$\frac{3}{5}$，求此时t的值．

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13．如图1，已知一次函数y=x+3的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c过A、B两点，且与x轴交于另一点C．
（1）求b、c的值；
（2）如图1，点D为AC的中点，点E在线段BD上，且BE=2ED，连接CE并延长交抛物线于点M，求点M的坐标；
（3）将直线AB绕点A按逆时针方向旋转15°后交y轴于点G，连接CG，如图2，P为△ACG内一点，连接PA、PC、PG，分别以AP、AG为边，在他们的左侧作等边△APR，等边△AGQ，连接QR
①求证：PG=RQ；
②求PA+PC+PG的最小值，并求出当PA+PC+PG取得最小值时点P的坐标．

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如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，点F在直线AD上且横坐标为6．

（1）求该抛物线解析式并判断F点是否在该抛物线上；
（2）如图，动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；
同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒

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2

个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值，如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，求出此时t的值．

科目：czsx 来源： 题型：

如图(13.1)，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，2)，连接AC，若tan∠OAC＝2．

(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；
(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使∠APC＝90°，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)如图(13.2)所示，连接BC，M是线段BC上(不与B、C重合)的一个动点，过点M作直线l′∥l，交抛物线于点N，连接CN、BN，设点M的横坐标为t．当t为何值时，△BCN的面积最大？最大面积为多少？

科目：czsx 来源：2010年高级中等学校招生全国统一考试数学卷（云南红河） 题型：解答题

科目：czsx 来源：不详 题型：解答题

如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-

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x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-

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x²+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒

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2

个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

13．如图1，直线l：y=$\frac{3}{4}$x+m与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，-1），抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点B，与直线l的另一个交点为C（4，n）．
（1）求n的值和抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线上，DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2），设点D的横坐标为t（0＜t＜4），矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；
（3）将△AOB绕平面内某点M旋转90°或180°，得到△A₁O₁B₁，点A、O、B的对应点分别是点A₁、O₁、B₁．若△A₁O₁B₁的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A₁的横坐标．

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（2013•金华模拟）如图（1），在平面直角坐标系中，矩形ABCO，B点坐标为（4，3），抛物线y=-

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x²+bx+c经过矩形ABCO的顶点B、C，D为BC的中点，直线AD与y轴交于E点，与抛物线y=-

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x²+bx+c交于第四象限的F点．
（1）求该抛物线解析式与F点坐标；
（2）如图（2），动点P从点C出发，沿线段CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；同时，动点M从点A出发，沿线段AE以每秒

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个单位长度的速度向终点E运动．过点P作PH⊥OA，垂足为H，连接MP，MH．设点P的运动时间为t秒．
①问EP+PH+HF是否有最小值？如果有，求出t的值；如果没有，请说明理由．
②若△PMH是等腰三角形，请直接写出此时t的值．

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如图1，抛物线C₁：y=x²+bx+c的顶点为A(1，-

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4

)，与y轴的负半轴交于B点．
（1）求抛物线C₁的解析式及B点的坐标；
（2）如图2，将抛物线C₁向下平移与直线AB相交于C、D两点，若BC+AD=AB，求平移后的抛物线C₂的解析式；
（3）如图3在（2）中，设抛物线C₂与y轴交于G点，顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNG=90°，请你分析实数m的变化范围．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

13．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与一直线相交于A（-1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
（2）点M在直线x=3上，求使MN+MD的值最小时的M点坐标；
（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由．

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（2012•郴州）阅读下列材料：
    我们知道，一次函数y=kx+b的图象是一条直线，而y=kx+b经过恒等变形可化为直线的另一种表达形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常数，且A、B不同时为0）．如图1，点P（m，n）到直线l：Ax+By+C=0的距离（d）计算公式是：d=

|A×m+B×n+C|

A2+B2

．

    例：求点P（1，2）到直线y=

5

12

x-

1

6

的距离d时，先将y=

5

12

x-

1

6

化为5x-12y-2=0，再由上述距离公式求得d=

|5×1+(-12)×2+(-2)|

52+(-12)2

=

21

13

．
    解答下列问题：
    如图2，已知直线y=-

4

3

x-4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=x²-4x+5上的一点M（3，2）．
    （1）求点M到直线AB的距离．
    （2）抛物线上是否存在点P，使得△PAB的面积最小？若存在，求出点P的坐标及△PAB面积的最小值；若不存在，请说明理由．