科目：czsx 来源： 题型：

已知，如图在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG平分∠CDE，DC=AE，
求证：CG=EG．
证明：∵AD⊥BC
∴∠ADB=90°
∵CE是AB边上的中线
∴E是AB的中点
∴DE=

1

2

AB

1

2

AB

（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
又∵AE=

1

2

AB
∴AE=DE
∵AE=CD
∴DE=CD
即△DCE是

等腰

等腰

三角形
∵DG平分∠CDE
∴CG=EG（

等腰三角形三线合一

等腰三角形三线合一

）

科目：czsx 来源： 题型：

如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，P是AB边上的一个动点，若AC=4，AD=5，则线段DP的最小值是

3

3

．

科目：czsx 来源： 题型：

如图1，E是正方形ABCD的边AB上的一点，过点E作DE的垂线交∠ABC的外角平分线于点F，求证：FE=DE．
小韬同学是一位聪明好学而且有钻研精神的同学，他发现∠DEF=∠DBF=90°，于是可以得到B、F、D、E四点共圆．
（1）请你帮小韬同学确定该圆的直径为

 

．
（2）请在图中作出该圆．小韬同学发现

DE

对两个圆周角∠DBE=∠DFE=45°，于是△DEF为等腰直角三角形，于是不用证全等就证明了FE=DE；
（3）通过以上材料解决下列问题，△ABC是等边三角形，D为边BC上一点，∠ADE=60°，DE交∠ACB的外角平分线于点E，于是猜测AD

 

DE（“＞”“=”或“＜”），并证明你的结论．

科目：czsx 来源： 题型：

如图，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm．将△ABC沿射线BC方向平移10cm，得到△DEF，A、B、C的对应点分别是D、E、F，连接AD．若有动点P从点D出发，以2cm/s速度沿D→A→C向点C运动，动点Q同时从点B出发，以3cm/s的速度沿B→F→D向点D运动，设P、Q运动时间为t，P、Q两点中一点达到终点，另一点也随之停止运动，请问：
（1）当点P在线段DA上运动时，是否存在t的值，使四边形PQCD是等腰梯形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
（2）在运动过程中，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是否能成平行四边形？若可以，请求出相应的t值；若不可以，请说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：

多彩数学，所有三角形都是等腰三角形
下面的推理过程，请你指出其错误之处．如图：△ABC中，∠BAC的平分线和BC边的垂直平分线相交于D，过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N．求证：AB=AC．
证明：连结BD、CD．
∵DM⊥AB，∴∠DMA=90°．∵DN⊥AC，∴∠AND=90°．∴∠AMD=∠AND=90°．又AD平分∠BAC，∴∠1=∠2．又∵AD=AD，∵△ADM≌△ADN（AAS），∴AM=AN，DM=DN．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△BDM与Rt△CDN中，

BD=CD DM=DN

∴Rt△BDM≌Rt△CDN（HL），∴BM=CN．又∵AM=AN，∴AB=AC，∴△ABC一定是等腰三角形．你认为对吗？
分三种情况：
（1）AB=AC时成立；
（2）AB＞AC时，N在AC的延长线上；
（3）AB＜AC时，M在AB的延长线上．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

科目：czsx 来源： 题型：

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG（如图3）．请你选择其中的一种方法证明小敏的发现的是正确的．

科目：czsx 来源： 题型：

如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）操作发现：在线段BC上取一点M，连接AM，若AD平分∠BAM，则∠MAE与∠EAC的数量关系是

 

．
（2）猜想论证：当0°＜α＜45°时，线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．小颖和小亮想出了两种不同的方法进行解决：
小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；
小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；
请你从中任选一种方法进行证明；
（3）拓展探究：继续旋转三角板，当135°＜α＜180°时（如图4），试探究线段BD、CE、DE之间的关系，请直接写出写出结论．

科目：czsx 来源：101网校同步练习　初一数学　北师大(新课标2001/3年初审) 北师大(新课标2001/3年初审) 题型：044

如图1，2，四边形ABCD是正方形(AD＝AB，∠A＝90°，∠ABC＝∠CBM＝90°)M是AB延长线上的一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．

(1)当点E在AB边的中点位置如图1时，连接点E与AD边的中点N，试说明NE＝BF；

(2)当点E在AB边的任意位置如图2时，N在线段AD的什么位置时，NE＝BF？不必说明理由．

科目：czsx 来源：不详 题型：解答题

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．
（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；
（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG（如图3）．请你选择其中的一种方法证明小敏的发现的是正确的．

科目：czsx 来源： 题型：

如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．

（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；

（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD²+CE²=DE²．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决；小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG（如图3）．请你选择其中的一种方法证明小敏的发现的是正确的．

 

科目：czsx 来源：2015年初中毕业升学考试（福建漳州卷）数学（解析版） 题型：解答题

科目：czsx 来源： 题型：解答题

4．如图1，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，将一块三角板AHP中含45°角的顶点放在点A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边AP所在的直线交直线BC于点D，直角边AH所在的直线交直线BC于点E．
（1）在线段BC上取一点M，连接AM，若AD平分∠BAM，求证：AE平分∠MAC；
（2）如图1当0°＜α≤45°时，求证：BD²+CE²=DE²；
（3）继续旋转三角板，当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD²+CE²=DE²仍然成立，现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图2），等量关系BD²+CE²=DE²是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立．说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：解答题

4．如图1，点A是直线HD上一点，C是直线GE上一点，B是直线HD、GE之间的一点，∠DAB+∠ABC+∠BCE=360°
（1）求证：AD∥CE；
（2）如图2，作∠BCF=∠BCG，CF与∠BAH的平分线交于点F，若2∠B-∠F=90°，求∠BAH的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，若点P是AB上一点，Q是GE上任一点，QR平分∠PQG，PM∥QR，PN平分∠APQ，下列结论：①∠APQ+∠NPM的值不变；②∠NPM的度数不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出正确的结论并求其值．

科目：czsx 来源： 题型：

运用“同一图形的面积用不同的表示方式”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．在解决几何问题时，我们常常用到这种“面积法”．

（1）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12．请用“面积法”解决下列问题：
①如图①，若AD是BC边上的高，则AD=

 

；
②如图②，若⊙O是△ABC的内切圆，则⊙O的半径为

 

．
（2）如图2，等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB，AC的距离分别为h₁，h₂．请用面积法证明：h₁+h₂=h．
（3）如图3，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

3

4

x²-

9

4

x+3交x轴于A，B两点，交y轴于点C，线段BC上的一点M到AC的距离是1．请运用（2）的结论求出点M的坐标．

科目：czsx 来源：2014-2015学年江苏省江阴市八年级上学期期中考试数学试卷（解析版） 题型：解答题

科目：czsx 来源： 题型：解答题

17．类比平行四边形，我们学习筝形，定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．如图①，若AD=CD，AB=CB，则四边形ABCD是筝形．
（1）在同一平面内，△ABC与△ADE按如图②所示放置，其中∠B=∠D=90°，AB=AD，BC与DE相交于点F，请你判断四边形ABFD是不是筝形，并说明理由．
（2）请你结合图①，写出一个筝形的判定方法（定义除外）．
在四边形ABCD中，若AD=CD，∠ADB=∠CDB，则四边形ABCD是筝形．
（3）如图③，在等边三角形OGH中，点G的坐标为（$\sqrt{3}$-1，0），在直线l：y=-x上是否存在点P，使得以O，G，H，P为顶点的四边形为筝形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

科目：czsx 来源： 题型：

我们知道：将一条线段AB分割成大小两条线段AC、CB，若小线段CB与大线段AC的长度之比等于大线段AC与线段AB的长度之比，即

CB

AC

=

AC

AB

=

5 -1

2

=0.61803398874989．这种分割称为黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．类似地我们可以定义，顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点．
（1）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你说明D为腰AB的黄金分割点的理由．
（2）若腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形，其对角线的交点为对角线的黄金分割点．如图2，AD‖BC，AB=AD=DC，AC=BD=BC，试说明O为AC的黄金分割点．
（3）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a、b、c．若D是AB的黄金分割点，那么a、b、c之间的数量关系是什么并证明你的结论．

科目：czsx 来源：2008年北京市大兴区初三二模数学试题 题型：044

我们知道：将一条线段AB分割成大小两条线段AC、CB，若小线段CB与大线段AC的长度之比等于大线段AC与线段AB的长度之比，即这种分割称为黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．

(1)类似地我们可以定义，顶角为36°的等腰三角形叫黄金三角形，其底与腰之比为黄金数，底角平分线与腰的交点为腰的黄金分割点．如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的角平分线CD交腰AB于点D，请你说明D为腰AB的黄金分割点的理由．

(2)若腰和上底相等，对角线和下底相等的等腰梯形叫作黄金梯形，其对角线的交点为对角线的黄金分割点．如图，AD∥BC，AB＝AD＝DC，AC＝BD＝BC，试说明O为AC的黄金分割点．

(3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为斜边AB上的高，∠A、∠B、∠ACB的对边分别为a、b、c．若D是AB的黄金分割点，那么a、b、c之间的数量关系是什么？并证明你的结论．

科目：czsx 来源： 题型：解答题